Большой звёздчатый додекаэдр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Большой звёздчатый додекаэдр
Большой звёздчатый додекаэдр
Тип тело Кеплера — Пуансо
Звёздчатая форма Правильного додекаэдра
Элементы F = 12, E = 30, V = 20
Характеристика
Эйлера
= 2
Грани по типам 12{5/2}
Символ Шлефли {5/2,3}
Символ Витхоффа 3 | 25/2
Диаграмма Коксетера node3node5ratd2node_1
Группа симметрии Ih, H3, [5,3], (*532)
Обозначения U52,C68, W22
Свойства правильный
невыпуклый
Вершинная фигура
(5/2)3
(Вершинная фигура)
Двойственный


Большой
икосаэдр

(двойственный
многогранник
)

Большой звёздчатый додекаэдр[1][2][3] — это тело Кеплера — Пуансо с символом Шлефли {5/2,3}. Многогранник является одним из четырёх невыпуклых правильных многогранников.

Он состоит из 12 пересекающихся граней в виде пентаграмм с тремя пентаграммами, сходящимися в каждой вершине.

Он имеет то же самое расположение вершин[англ.], что и правильный додекаэдр, а также является звёздчатой формой (меньшего) додекаэдра. Это единственная звёздчатая форма додекаэдра с таким свойством, за исключением самого додекаэдра. Его двойственный многогранник, большой икосаэдр, связан похожим образом с икосаэдром.

Если срезать треугольные пирамиды, останется икосаэдр.

Если грани не рассматривать как пентаграммы, а рассматривать как набор отдельных треугольников, он топологически связан с триакисикосаэдром, имеет ту же самую связь граней, но грани (равнобедренных) треугольников много длиннее.

Прозрачная модель Сферическая мозаика

Прозрачный большой звёздчатый додекаэдр (вращающийся)

Этот многогранник можно представить как сферическую мозаику с плотностью 7. (Одна сферическая грань в виде пентаграммы прочерчена синей линией и заполнена жёлтым)
Развёртка Грани звёздчатой формы
× 20
Развёртка большого звёздчатого додекаэдра (геометрия поверхности). Двадцать равнобедренных треугольных пирамид расположены так же, как грани икосаэдра

Его можно построить как третью (из трёх) звёздчатых форм додекаэдра. В списке моделей Веннинджера это модель [W20].

Связанные многогранники

[править | править код]

Процесс усечения, применённый к большому звёздчатому многограннику, даёт серию однородных многогранников. Усечение рёбер до точек (полное усечение) даёт большой икосододекаэдр. Процесс завершается на двойном полном усечении, при котором исходные грани сводятся к точкам, результат — большой икосаэдр.

Усечённый большой звёздчатый многогранник — это вырожденный многогранник, имеющий 20 треугольных граней, оставшихся от усечённых вершин и 12 (скрытых) пятиугольных граней, оставшихся от исходных граней. Последние образуют большой додекаэдр, вписанный в икосаэдр и имеющий с ним общие рёбра.

Название Большой
звёздчатый
додекаэдр
Усечённый большой звёздчатый додекаэдр Большой икосододекаэдр Усечённый
большой
икосаэдр
[англ.]
Большой
икосаэдр
Диаграмма
Коксетера
node3node5ratd2node_1 node3node_15ratd2node_1 node3node_15ratd2node node_13node_15ratd2node node_13node5ratd2node
Рисунок

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
  • Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: ГИТТЛ, 1956.
  • Александров П. С., Маркушевич А. И., Хинчин А. Я. Энциклопедия элементарной математики. — ГИФМЛ, 1963. — Т. IV.