Ромбоикосододекаэдр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Ромбоикосододекаэдр
(вращающаяся модель, 3D-модель)
(вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип архимедово тело
Свойства выпуклый, изогональный
Комбинаторика
Элементы
62 грани
120 рёбер
60 вершин
Χ = 2
Грани 20 треугольников
30 квадратов
12 пятиугольников
Конфигурация вершины 3.4.5.4
Двойственный многогранник дельтоидальный гексеконтаэдр
Классификация
Обозначения eD, aaD
Символ Шлефли rr{5,3}
Группа симметрии Ih (икосаэдрическая)
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе

Ромбоикосододека́эдр[1][2][3] — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 62 гранями, составленный из 20 правильных треугольников, 30 квадратов и 12 правильных пятиугольников.

В каждой из его 60 одинаковых вершин сходятся одна пятиугольная грань, две квадратных и одна треугольная. Телесный угол при вершине равен

Ромбоикосододекаэдр имеет 120 рёбер равной длины. При 60 рёбрах (между треугольной и квадратной гранями) двугранные углы равны при 60 рёбрах (между квадратной и пятиугольной гранями)

Ромбоикосододекаэдр можно представить либо как додекаэдр, усечённый по вершинам и рёбрам (при этом треугольники соответствуют вершинам додекаэдра, а квадраты — рёбрам), либо как икосаэдр, усечённый таким же образом (при этом пятиугольники соответствуют вершинам икосаэдра, а квадраты — рёбрам), либо же как усечённый икосододекаэдр.

Фрагмент титульного листа «Геометрии» Августина Хиршфогеля (1543)

В координатах

[править | править код]

Ромбоикосододекаэдр с длиной ребра можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными циклическими перестановками наборов чисел

где — отношение золотого сечения.

Начало координат будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Метрические характеристики

[править | править код]
Для удобства представления грани ромбоикосододекаэдра можно мысленно разделить на пять «поясов».
Пара каменных ромбоикосододекаэдров возле Капитолия штата Пенсильвания (установлены в 1928 году).

Если ромбоикосододекаэдр имеет ребро длины , его площадь поверхности и объём выражаются как

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

Вписать в ромбоикосододекаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри ромбоикосододекаэдра с ребром (она будет касаться только всех пятиугольных граней в их центрах), равен

Расстояния от центра многогранника до квадратных и треугольных граней превосходят и равны соответственно

В культуре

[править | править код]
Соединители в Zometool

В наборах для моделирования пространственных фигур Zometool в качестве соединителей используются рёберные каркасы ромбоикосододекаэдра.

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
  • Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382—447.
  • Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.