Усечённый кубооктаэдр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Усечённый кубооктаэдр
Усечённый кубооктаэдр
Усечённый кубооктаэдр
Тип Полуправильный многогранник
Грань квадрат,
шестиугольник,
восьмиугольник
Граней
Рёбер
Вершин
Граней при вершине
Телесный угол

4-6:arccos(-sqrt(6)/3)=144°44’08"
4-8:arccos(-sqrt(2)/3)=135°
6-8:arccos(-sqrt(3)/3)=125°15’51"

Точечная группа
симметрии
Октаэдрическая,
[4,3]+, (432), порядок 24
Двойственный
многогранник
Гекзакисоктаэдр
Ромбоусечённый додекаэдр
Развёртка Развёртка
Раскраска граней
С раскраской
граней
Вершинная фигура


Вершинная фигура

Усечённый кубооктаэдр[1][2], усечённый кубоктаэдр[3] — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 12 квадратными гранями, 8 гранями в виде правильного шестиугольника, 6 гранями в виде правильного восьмиугольника, 48 вершинами и 72 рёбрами. Поскольку каждая из граней многогранника имеет центральную симметрию (что эквивалентно повороту на 180°), усечённый кубооктаэдр является зоноэдром.

Другие названия

[править | править код]

Этот многогранник имеет несколько названий:

Название усечённый кубооктаэдр, данное первоначально Иоганном Кеплером, несколько вводит в заблуждение. Усечение кубооктаэдра путём отсечения углов (вершин) не позволяет получить эту однородную фигуру — некоторые грани будут прямоугольниками. Однако полученная фигура топологически эквивалентна усечённому кубооктаэдру и всегда может быть деформирована до состояния, когда грани станут правильными.

Альтернативное название — большой ромбокубооктадр — ссылается на тот факт, что 12 квадратных граней лежат в тех же плоскостях, что и 12 граней ромбододекаэдра, который двойственен кубооктаэдру. Ср. малый ромбокубооктаэдр.

Также существует невыпуклый однородный многогранник[англ.] с тем же именем — невыпуклый большой ромбокубооктаэдр[англ.].

Декартовы координаты

[править | править код]

Декартовы координаты вершин усечённого кубооктаэдра, имеющего ребро длины 2 и имеющего центр в начале координат, являются перестановками чисел:

(±1, ±(1+√2), ±(1+2√2))

Площадь и объём

[править | править код]

Площадь A и объём V усечённого кубооктаэдра с ребром длины a равны:

Рассечение

[править | править код]

Усечённый кубооктаэдр можно препарировать (вырезать части), превратив его в центральный ромбокубооктаэдр с 6 квадратными куполами[англ.] над первичными квадратными гранями, 8 треугольными куполами[англ.] над треугольными гранями и 12 кубами над вторичными квадратными гранями.

Препарированный усечённый кубооктаэдр может дать тороиды Стюарта[англ.] рода 5, 7 или 11, если удалить центральный ромбокубооктаэдр и либо квадратные купола, либо треугольные купола, или 12 кубов соответственно. Можно построить много других тороидов с меньшей степенью симметрии путём удаления подмножества этих компонент препарации. Например, удаление половины треугольных куполов создаёт тороид рода 3, который (при правильном выборе удаляемых куполов) имеет тетраэдральную симметрию[8][9].

Тороиды Стюарта
Род 3 Род 5 Род 7 Род 11

Однородные раскраски

[править | править код]

Существует только одна однородная раскраска граней этого многогранника, по одному цвету на каждый тип грани.

Существует 2-однородная раскраска тетраэдральной симметрией с раскраской шестиугольников в два цвета.

Ортогональные проекции

[править | править код]

Усечённый кубооктаэдр имеет две специальные ортогональные проекции в A2 и B2 плоскости Коксетера с [6] и [8] проективными симметриями, и множество [2] симметрий можно построить, исходя из различных плоскостей проекции.

Ортогональные проекции
Центрированы относительно Вершины Ребра
4-6
Ребра
4-8
Ребра
6-8
Нормали к грани
4-6
Изображение
Проективная
симметрия
[2]+ [2] [2] [2] [2]
Центрированы относительно Нормали к
квадрату
Нормали к
восьмиграннику
Квадратной
грани
Шестиугольной
грани
Восьмиугольной
грани
Изображение
Проективная
симметрия
[2] [2] [2] [6] [8]

Сферические мозаики

[править | править код]

Усечённый кубооктаэдр можно представить как сферическую мозаику и спроектировать на плоскость с помощью стереографической проекции. Эта проекция конформна, она сохраняет углы, но не сохраняет длины и площади. Прямые линии на сфере проецируются в круговые дуги на плоскости.


квадрат-центрированная

шестиугольник-центрированная

восьмиугольник-центрированная
Ортогональная проекция Стереографические проекции

Связанные многогранники

[править | править код]

Усечённый кубооктаэдр входит в семейство однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.

Однородные октаэдральные многогранники
Симметрия: [4,3], (*432)[англ.] [4,3]+, (432) [3+,4], (3*2)
node_14node3node node_14node_13node node4node_13node node4node_13node_1 node4node3node_1 node_14node3node_1 node_14node_13node_1 node_h4node_h3node_h node_h3node_h4node
{4,3} t{4,3} r{4,3} t{3,4} {3,4} rr{4,3} tr{4,3} sr{4,3} s{3,4}
Двойственные многогранники
V43 V3.82 V(3.4)2 V4.62 V34 V3.43 V4.6.8 V34.4 V35

Этот многогранник можно считать членом последовательности однородных вершинных фигур со схемой (4.6.2p) и диаграммой Коксетера — Дынкина node_1pnode_13node_1. Для p < 6 члены последовательности являются общеусечёнными[англ.] многогранниками (зоноэдрами), показанными ниже как сферические мозаики. Для p > 6 они являются мозаиками на гиперболической плоскости, начиная с усечённой трисемиугольной мозаики[англ.].

*n32 мутации по симметрии полностью усечённых мозаик: 4.6.2n
Симметрия
*n32[англ.]
n,3[англ.]
Сферическая Евклидова Компактная гиперболическая Паракомп. Некомпактная гиперболическая
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]
*∞32
[∞,3]
 
[12i,3]
 
[9i,3]
 
[6i,3]
 
[3i,3]
Фигуры
Конфигурация 4.6.4 4.6.6 4.6.8 4.6.10 4.6.12[англ.] 4.6.14[англ.] 4.6.16[англ.] 4.6.∞[англ.] 4.6.24i 4.6.18i 4.6.12i 4.6.6i
Двойственная
Конфигурация грани V4.6.4[англ.] V4.6.6 V4.6.8[англ.] V4.6.10 V4.6.12[англ.] V4.6.14[англ.] V4.6.16[англ.] V4.6.∞ V4.6.24i V4.6.18i V4.6.12i V4.6.6i
*n42 симметрии общеусечённых мозаик: 4.8.2n
Симметрия
*n42
[n,4]
Сферическая Евклидова Компактная гиперболическая Паракомп.
*242
[2,4]
*342
[3,4]
*442
[4,4]
*542
[5,4]
*642
[6,4]
*742
[7,4]
*842
[8,4]…
*∞42
[∞,4]
Общеусечённая
фигура

4.8.4

4.8.6

4.8.8

4.8.10

4.8.12

4.8.14

4.8.16

4.8.∞
Общеусечённые
двойственные

V4.8.4

V4.8.6

V4.8.8

V4.8.10

V4.8.12

V4.8.14

V4.8.16

V4.8.∞

Граф усечённого кубооктаэдра

[править | править код]
Граф усечённого кубооктаэдра
Вершин 48
Рёбер 72
Автоморфизмы 48
Хроматическое число 2
Свойства

кубический
гамильтонов
регулярный,


нуль-симметричный[англ.]
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе


В теории графов граф усечённого кубооктаэдра (или граф большого ромбокубооктаэдра) — это граф вершин и рёбер[англ.] усечённого кубооктаэдра. Он имеет 48 вершин и 72 ребра, нульсимметричен[англ.] и является кубическим архимедовым графом [10].

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
  • Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382—447.
  • Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.
  • Magnus Wenninger. Polyhedron Models. — Cambridge University Press, 1974. — ISBN 978-0-521-09859-5. (Модель 15, стр. 29)
  • Robert Williams. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — Dover Publications, Inc., 1979. — ISBN 0-486-23729-X.. (Секция 3-9, стр. 82)
  • P. Cromwell. Polyhedra. — United Kingdom: Cambridge, 1997. — С. 79–86 Archimedean solids. — ISBN 0-521-55432-2.
  • R.C. Read, R.J. Wilson. An Atlas of Graphs. — Oxford University Press, 1998.
  • B. M. Stewart. Adventures Among the Toroids. — 1970. — ISBN 978-0-686-11936-4.