Формула Пика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Формула Пи́ка (или теорема Пи́ка) — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел, даёт выражение для площади многоугольника с целочисленными вершинами.

Названа в честь Георга Пика, доказавшего её в 1899 году.

Формулировка

[править | править код]
В = 7, Г = 8,
В + Г/2 − 1 = 10

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами[1] равна , где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

  • Площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна 1/2.
    • Этот факт даёт геометрическое доказательство формулы для разности подходящих дробей цепной дроби.

Вариации и обобщения

[править | править код]
Контрпример к аналогу теоремы Пика в размерности 3.
  • Если все грани целочисленного многогранника центрально симметричны (в частности если многогранник является зонэдром) то его объём может быть вычислен по формуле
где суммирование ведётся по всем целочисленным точкам и телесный угол при ; если лежит внутри , то считается что .[2]
  • Аналогичное утверждение верно и в -мерном евклидовом пространстве
где обозначает площадь единичной сферы в .

Примечания

[править | править код]
  1. Точка координатной плоскости называется целочисленной, если обе её координаты целые.
  2. Tabachnikov, Sergei, Pierre Deligne, and Sinai Robins. The Ice Cube Proof (англ.) // The Mathematical Intelligencer. — 2014. — Vol. 36, no. 4. — P. 1-3.

Литература

[править | править код]
  • В. В. Прасолов. Задачи по планиметрии. — М.: МЦНМО, 2001. — 584 с. — ISBN 5-900916-82-0.
  • А. Кушниренко. Целые точки в многоугольниках и многогранниках // Квант. — 1977. — № 4. — С. 13—20.