Теорема Брахмагупты

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теоре́ма Брахмагу́пты — теорема элементарной геометрии, найденная в седьмом столетии нашей эры индийским математиком Брахмагуптой.

Если вписанный четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали, пересекающиеся в точке , то прямая, проходящая через точку и перпендикулярная одной из его сторон, делит противоположную ей сторону пополам.

Замечание. По аналогии с серединным перпендикуляром (медиатрисой) к стороне треугольника отрезок (на рисунке справа) называют антимедиатрисой[1] противоположных сторон четырёхугольника. С учётом этого замечания теорема Брахмагупты может быть сформулирована в виде:

Две пары антимедиатрис вписанного ортодиагонального четырёхугольника проходят через точку пересечения его диагоналей.

Доказательство

[править | править код]

На рисунке изображён вписанный четырёхугольник , имеющий перпендикулярные диагонали и , а прямая перпендикулярна стороне и пересекает сторону в точке . Тогда Следовательно, треугольник  — равнобедренный. Аналогично, равнобедренным будет и треугольник . Поэтому .

Антицентр и коллинеарность

[править | править код]

Четыре отрезка прямых, перпендикулярных одной стороне вписанного ортодиагонального четырёхугольника и проходящих через середину противоположной стороны, пересекаются в одной точке[2][3]. Эта точка пересечения называется антицентром. Антицентр симметричен центру описанной окружности относительно «вершинного центроида». Таким образом, во вписанном четырёхугольнике центр описанной окружности, «вершинный центроид» и антицентр лежат на одной прямой[3].

  • Известна теорема: Если в четырёхугольнике перпендикулярны диагонали, то на одной окружности (окружность восьми точек четырёхугольника) лежат восемь точек: середины сторон и проекции середин сторон на противоположные стороны [4]. Из этой теоремы и теоремы Брахмагупты следует, что концы двух пар антимедиатрис (восемь точек) вписанного ортодиагонального четырёхугольника лежат на одной окружности (окружность восьми точек четырёхугольника).

Эта теорема обобщает теорему Брахмагупты, однако отсутствие вписанности четырёхугольника в окружность приводит к тому, что его антимедиатрисы пересекаются не в точке, являющейся точкой пересечения его диагоналей.

Примечания

[править | править код]
  1. Стариков В. Н. Исследования по геометрии// Сборник публикаций научного журнала Globus по материалам V-й международной научно-практической конференции «Достижения и проблемы современной науки» г. Санкт-Петербург: сборник со статьями (уровень стандарта, академический уровень). // Научный журнал Globus. — С-П., 2016.
  2. Altshiller-Court, 2007, с. 131.
  3. 1 2 Honsberger, 1995, с. 35–39, 4.2 Cyclic quadrilaterals.
  4. Заславский, Пермякова и др.2009.

Литература

[править | править код]
  • Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — ISBN 5-94057-170-0.
  • Nathan Altshiller-Court. College geometry : an introduction to the modern geometry of the triangle and the circle. — Dover Publications, Inc., 2007. — ISBN 0-486-45805-9.
  • Ross Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. — Mathematical Association of America, 1995. — Vol. 37. — P. 17—26. — (New Mathematical Library). — ISBN 0-88385-639-5 (Vol. 37). — ISBN 0-88385-600-X (complete set).
  • Математика в задачах. Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду / Под редакцией А. А. Заславского, Д. А. Пермякова, А. Б. Скопенкова, М. Б. Скопенкова и А. В. Шаповалова.. — Москва: МЦНМО, 2009. — ISBN 978-5-94057-477-4.