Инъективное метрическое пространство

Инъективное метрическое пространство — метрическое пространство, обладающее определёнными свойствами; такими пространствами являются вещественная прямая, все метрические деревья, $L^{\infty }$ и другие.

Определение

Полное геодезическое метрическое пространство $X$ называется инъективным (или гипервыпуклым), если произвольное семейство шаров в $X$ имеет общую точку, если любые два шара в этом семействе пересекаются.

Связанные определения

• Пространство $X$ называется $n$-гипервыпуклым если любое семейство из $n$ закнутых шаров ${\bar {B}}[x_{i},r_{i}]$ таких, что $r_{i}+r_{j}\geq |x_{i}-x_{j}|_{X}$ имеет общую точку.
  • $2$-гипервыпуклое пространство также называется выпуклым.
• Пространство $X$ называется конечно или счётно гипервыпуклым если тоже условие выполняется для любого конечного (соответственно счётного) семейства шаров.

Примеры

• Вещественная прямая, а также любой замкнутый интервал инъективвен.
• Пространство ограниченных функций на любом пространстве с sup-нормой инъективно.
• Любое метрическое дерево инъективно.
• Пространство $\ell ^{1}$ является 3-гипервыпуклым, но не 4-гипервыпуклым.
• Пространство Урысона $\mathbb {U}$ является конечно гипервыпуклым, но не счётно гипервыпуклым.

Свойства

• В инъективном пространстве радиус любого множества равен половине его диаметра.
  • Таким образом, инъективные пространства удовлетворяют самой сильной форме теоремы Юнга.
• Инъективное пространство является полным.
• Любое короткое отображение инъективного пространства конечного диаметра в себя фиксирует точку.
• Метрическое пространство является инъективным тогда и только тогда, когда оно является инъективным объектом в категории метрических пространств и коротких отображений по отношению к экстремальным мономорфизмам.
  • Иначе говоря, пространство $X$ является инъективным, если для любого короткого отображения $f\colon A\to X$ и изометрического вложения $\phi \colon A\to B$ существует короткое отображение $g\colon B\to X$ такое, что $f=g\circ \phi$.
• Любое метрическое пространство вкладывается в так называемую инъективную оболочку — минимальное инъективное пространство, содержащее исходное. (Инъективная оболочка аналогична выпуклой оболочке.)
  • Инъективная оболочка данного метрического пространства определяется однозначно с точностью до изометрии, коммутирующей с вложением.
• Конечно гипервыпуклое ограниченно компактное пространство инъетивно.
• Полное 4-гипервыпуклое пространство конечно гипервыпукло.

См. также

• Категория метрических пространств

Ссылки

• Isbell, J. R. Six theorems about injective metric spaces (англ.) // Commentarii Mathematici Helvetici : journal. — 1964. — Vol. 39. — P. 65—76. — doi:10.1007/BF02566944.