Инъективная оболочка

Инъективная оболочка множества точек на плоскости с метрикой городских кварталов.

Инъективная оболочка — конструкция в метрической геометрии, дающая наименьшее инъективное метрическое пространство, включающее данное метрическое пространство. Эта конструкция во многом аналогична конструкции выпуклой оболочки для множеств в евклидовом пространстве.

Инъективная оболочка была впервые описана Джоном Исбелом в 1964 году. Позже была переоткрыта несколько раз.

Построение

На данном метрическом пространстве $M$ рассматриваются все функции $f\colon M\to \mathbb {R}$ такие, что

$f(x)+f(y)\geqslant |x-y|_{M}\geqslant |f(x)-f(y)|$ для любых $x,y\in M$,

для любого $x\in M$ существует $y\in M$ такое, что $f(x)+f(y)-|x-y|_{M}$ произвольно мало.

Далее множество этих функций снабжается метрикой

$|f-h|=\sup _{x\in M}|f(x)-h(x)|_{M}.$

Полученное метрическое пространство $W$ называется инъективной оболочкой $M$.

Замечания

• Пространство $M$ можно рассматривать как подпространство $W$; необходимое отображение $M\to W$ получается сопоставлением каждой точке $x\in M$ её дистанционной функции $z\mapsto |x-z|_{M}$.

Свойства

• Инъективная оболочка является инъективным пространством.

• Инъективная оболочка компактного пространства компактна.
  • В частности, любое компактное пространство является подпространством компактного пространства с внутренней метрикой.

• Пусть ${\hat {X}}$ и ${\hat {Y}}$ — инъективные оболочки компактных метрических пространств $X$ и $Y$. Тогда

  $d_{GH}({\hat {X}},{\hat {Y}})\leq 2\cdot d_{GH}(X,Y),$

где $d_{GH}$ обозначает метрику Громова — Хаусдорфа.

• Константа 2 в этом неравенстве является оптимальной.

• Инъективная оболочка банахова пространства является банаховым пространством.