Пространство Урысона

Пространство Урысона — метрическое пространство, универсальное в определённом смысле. Обычно обозначается $\mathbb {U}$.

Определение

Пространство Урысона — полное сепарабельное метрическое пространство $\mathbb {U}$, обладающее следующими двумя свойствами:

• Универсальность: любое конечное метрическое пространство изометрично некоторому подмножеству $\mathbb {U}$.
• Конечная однородность: для любых двух конечных изометричных его подмножеств $Y_{1},Y_{2}\subset \mathbb {U}$ любая изометрия между ними продолжается до глобальной изометрии $\mathbb {U}$.

Замечание

• Эквивалентно, пространство Урысона можно определить как полное сепарабельное метрическое пространство $\mathbb {U}$, обладающее свойством продолжения; то есть любое изометрическое отображение $A\to \mathbb {U}$ из подмножества $A$ конечного метрического пространства $F$ можно продолжить до изометрического отображения $F\to \mathbb {U}$.

Свойства

• Пространство Урысона $\mathbb {U}$ существует и единственно с точностью до изометрии.

• Пространство Урысона $\mathbb {U}$ является компактно однородным. То есть любое изометрическое отображение компактного подмножества $K\subset \mathbb {U}$ в $U$ можно продолжить до изометрии $\mathbb {U}$.

• Пространство Урысона $\mathbb {U}$ гомеоморфно произведению счётного числа вещественных прямых.

• При некоторой естественной процедуре порождения случайного полного сепарабельного метрического пространства получающееся пространство почти наверное оказывается изометричным пространству Урысона.
  • Это свойство аналогично основному свойству графу Радо — Эрдеша — Реньи.

История

Морис Фреше доказал, что пространство $\ell ^{\infty }$ универсально, то есть включает в себя изометрическую копию любого сепарабельного метрического пространства. Однако, в отличие от пространстве Урысона, $\ell ^{\infty }$ не является ни конечно-однородным, ни сепарабельным. Он поставил вопрос о существовании сепарабельного пространства, обладающего этим свойством. Такое пространство было построено Павлом Самуиловичем Урысоном.

На поставленный Урысоном вопрос о существовании неполного универсального конечно-однородного пространства дал положительный ответ Мирослав Катетов. В той же статье дано слегка упрощённое построение пространства Урысона.

Ссылки

• С. А. Богатый, Компактная однородность универсального метрического пространства Урысона, УМН, 55:2(332) (2000), 131—132.

• А. М. Вершик, Случайное метрическое пространство есть пространство Урысона, Докл. РАН, 387:6 (2002), 733—736

• А. М. Вершик, Универсальность и случайность в геометрии и анализе, видеозапись лекции 28 сентября 2006 г. на общеинститутском семинаре «Математика и её приложения» Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

• А. М. Вершик, Случайные метрические пространства и универсальность, УМН, 59:2(356) (2004), 65-104.

• J. Melleray, Some geometric and dynamical properties of the Urysohn space. Topology Appl. 155 (2008), no. 14, 1531–1560.