Плосконосая квадратная мозаика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Плосконосая квадратная мозаика
Тип Полуправильная мозаика
Конфигурация
граней

3.3.4.3.4
Символ
Шлефли
s{4,4}
sr{4,4} или
Символ
Витхоффа
| 4 4 2
Диаграммы
Коксетера — Дынкина
node_h4node_h4node
node_h4node_h4node_h или node_hsplit1-44nodes_hh
Симметрия p4g, [4+,4], (4*2)
Симметрия
вращения
p4, [4,4]+, (442)
Двойственная
мозаика
Каирская пятиугольная мозаика
Свойства вершинно транзитивная

Плосконосая квадратная мозаика — полуправильное замощение плоскости. В каждой вершине сходятся три треугольника и два квадрата. Символ Шлефли мозаики — s{4,4}.

Конвей называл эту мозаику snub quadrille (плосконосая кадриль), поскольку мозаика строится с применением операции snub (отсечения углов) к квадратной мозаике (в терминах Конвея — quadrille).

Существует 3 правильные и 8 полуправильных мозаик на плоскости.

Однородные раскраски

[править | править код]

Существует 2 различные однородные раскраски плосконосой квадратной мозаики. Цвета граней по индексам цвета вокруг вершины (3.3.4.3.4), 11212), 11213.

Раскраска
11212

11213
Симметрия 4*2, [4+,4], (p4g) 442, [4,4]+, (p4)
Символ Шлефли s{4,4} sr{4,4}
Символ Витхоффа   | 4 4 2
Диаграммы
Коксетера — Дынкина
node_h4node_h4node node_h4node_h4node_h

Упаковка кругов

[править | править код]

Плосконосую квадратную мозаику можно использовать для упаковки кругов, если размещать круги одинакового диаметра с центрами в вершинах квадратов. Каждый круг соприкасается с пятью другими кругами упаковки (контактное число)[1].

Построение Витхоффа

[править | править код]

Плосконосую квадратную мозаику можно построить применением операции отсечения углов к квадратной мозаике или путём частичного усечения[англ.] усечённой квадратной мозаики.

Частичное усечение удаляет каждую вторую вершину, создавая треугольные грани на месте удалённых вершин и уменьшает число сторон граней наполовину. В этом случае, начиная с усечённой квадратной мозаики с двумя восьмиугольниками и одним квадратом для каждой вершины, частичное усечение превращает восьмиугольные грани в квадраты, а квадратные грани вырождаются в рёбра, в результате чего появляются 2 дополнительных треугольника на месте усечённых вершин вокруг исходного квадрата. Если исходная мозаика состоит из правильных граней, вновь образованные треугольники будут равнобедренными. Если начать с восьмиугольников, в которых чередуются длинные и короткие стороны, образуется плосконосая мозаика с равносторонними треугольными гранями.

Пример:


Частично усечённые правильные восьмиугольники
(Частичное
усечение)

Равнобедренные треугольники (Неоднородная мозаика)

Частично усечённые неправильные восьмиугольники
(Частичное
усечение)

Равносторонние треугольники

Связанные мозаики

[править | править код]

Эта мозаика связана с удлинёнными треугольными мозаиками[англ.], которые тоже имеют три треугольника и два квадрата на одну вершину, но порядок этих элементов в вершинной фигуре другой. Плосконосую квадратную мозаику можно считать связанной с этой трёхцветной квадратной мозаикой, в которой красные и жёлтые квадраты повёрнуты (с увеличением размера), а синие квадраты искривляются до ромбов, а затем разбиваются на два треугольника.

Связанные многогранники и мозаики

[править | править код]

Плосконосая квадратная мозаика подобна удлинённой треугольной мозаике[англ.] с вершинной конфигурацией 3.3.3.4.4 и двум 2-однородным двойственным мозаикам и двум 3-однородным двойственным мозаикам, в которых смешаны два типа пятиугольников[2][3]:


3.3.3.4.4

3.3.4.3.4

Плосконосая квадратная мозаика является третьей в последовательности многогранников с отсечёнными вершинами и мозаик с вершинной фигурой 3.3.4.3.n.

Плосконосая квадратная мозаика является третьей в последовательности многогранников с отсечёнными вершинами и мозаик с вершинной фигурой 3.3.n.3.n.

Примечания

[править | править код]
  1. Critchlow, 1987, с. 74—75.
  2. Chavey, 1989, с. 147—165.
  3. Uniform Tilings. Steven Dutch, Natural and Applied Sciences, University of Wisconsin - Green Bay. Дата обращения: 20 декабря 2017. Архивировано из оригинала 9 сентября 2006 года.

Литература

[править | править код]
  • Chavey D. Tilings by Regular Polygons—II: A Catalog of Tilings // Computers & Mathematics with Applications. — 1989. — Т. 17. — doi:10.1016/0898-1221(89)90156-9.
  • Klitzing, Richard «2D Euclidean tilings s4s4s — snasquat — O10» Архивная копия от 9 декабря 2017 на Wayback Machine
  • Williams, R. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York: Dover Publications, 1979. — С. 36. — ISBN 0-486-23729-X.
  • Branko Grünbaum, G. C. Shephard. Tilings and Patterns. — W. H. Freeman, 1987. — С. 58—65 (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings). — ISBN 0-7167-1193-1.
  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — Wellesley, MA: A K Peters, Ltd., 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5. Архивная копия от 19 сентября 2010 на Wayback Machine
  • Keith Critchlow. Order in Space: A design source book. — New York: Thames & Hudson, 1987. — С. 77—76, pattern 8. — ISBN 0-500-34033-1.
  • Williams, R. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York: Dover Publications, 1979. — С. 38. — ISBN 0-486-23729-X.