Однородная мозаика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Однородная мозаикавершинно транзитивная мозаика на плоскости с правильными многоугольными гранями.

Однородная мозаика может существовать как на евклидовой плоскости, так и на гиперболической плоскости. Однородные мозаики связаны с конечными однородными многогранниками, которые можно считать однородными замощениями сферы.

Большинство однородных мозаик могут быть получены построением Витхоффа с помощью симметрии, начиная с одной генерирующей точки внутри фундаментальной области. Группа симметрии на плоскости имеет многоугольную фундаментальную область и может быть представлена порядком зеркал в последовательности вершин.

Треугольная фундаментальная область имеет порядки зеркал (p q r), а прямоугольная треугольная область — (p q 2), где p, q, r — целые числа, большие единицы. Треугольник может быть сферическим треугольником, евклидовым треугольником или треугольником на гиперболической плоскости, что зависит от значений p, q и r.

Существует несколько символических схем для именования полученных фигур, начиная с модифицированного символа Шлефли для фундаментальной области в виде прямоугольного треугольника (p q 2) → {p, q}. Диаграмма Коксетера — Дынкина является графом с помеченными значениями p, q, r рёбрами. Если r = 2, граф линеен, поскольку узлы порядка 2 не образуют отражений. Символ Витхоффа[англ.] использует 3 целых числа с разделительной вертикальной чертой между ними (|). Если генерирующая точка не находится на зеркале, символ вершины, противоположной зеркалу, помещается до вертикальной черты.

Наконец, мозаики можно описать с помощью их вершинной конфигурации, т.е. последовательности многоугольников вокруг каждой вершины.

Все однородные мозаики можно построить с помощью различных операций, применённых к правильным мозаикам. Имена этим операциям дал американский математик Норман Джонсон, это truncation (усечение, отрезание вершин), rectification (полное усечение, отрезание вершин до полного исчезновения исходных рёбер) и cantellation (скашивание, срезание рёбер). Omnitruncation (всеусечение[англ.]) — это операция, комбинирующая усечение и скашивание. Snubbing (отрезание носов) — это операция альтернированного усечения всеусечённых форм. (См. Операторы построения Витхоффа для подробного объяснения операций.)

Группы Коксетера

[править | править код]

Группы Коксетера на плоскости определяют построение Витхоффа и могут быть представлены диаграммами Коксетера — Дынкина:

Для групп с целым числовым порядком:

Евклидова плоскость
Орбифолдная
симметрия
[англ.]
Группа Коксетера Диаграмма
Коксетера
Примечания
Компактные
*333 (3 3 3) [3[3]] nodesplit1branch 3 зеркальные формы, 1 плосконосая
*442 (4 4 2) [4,4] node4node4node 5 зеркальных форм, 1 плосконосая
*632 (6 3 2) [6,3] node6node3node 7 зеркальных форм, 1 плосконосая
*2222 (∞ 2 ∞ 2) × [∞,2,∞] nodeinfinnode2nodeinfinnode 3 зеркальные формы, 1 плосконосая
Некомпактные (бордюр)
*∞∞ (∞) [∞] nodeinfinnode
*22∞ (2 2 ∞) × [∞,2] nodeinfinnode2node 2 зеркальные формы, 1 плосконосая
Гиперболическая плоскость
Орбифолдная
симметрия
[англ.]
Группа Коксетера Диаграмма
Коксетера
Примечания
Компактные
*pq2 (p q 2) [p,q] nodepnodeqnode 2(p+q) < pq
*pqr (p q r) [(p,q,r)] 3nodepnodeqnoder pq+pr+qr < pqr
Паракомпактные
*∞p2 (p ∞ 2) [p,∞] nodepnodeinfinnode p>=3
*∞pq (p q ∞) [(p,q,∞)] 3nodepnodeqnodeinfin p,q>=3, p+q>6
*∞∞p (p ∞ ∞) [(p,∞,∞)] 3nodepnodeinfinnodeinfin p>=3
*∞∞∞ (∞ ∞ ∞) [(∞,∞,∞)] 3nodeinfinnodeinfinnodeinfin

Однородные мозаики на евклидовой плоскости

[править | править код]

Имеются группы симметрии на евклидовой плоскости, получающиеся из фундаментальных треугольников (4 4 2), (6 3 2) и (3 3 3). Каждая из них представляется набором прямых (зеркал), делящих плоскость на фундаментальные треугольники.

Эти группы симметрии создают 3 правильных мозаики и 7 полуправильных. Число полуправильных мозаик повторяется при различных конструкциях симметрии.

Призматическая группа симметрии, представленная символом (2 2 2 2), задаётся двумя наборами параллельных зеркал, что, в общем случае, может иметь прямоугольную фундаментальную область. Группа не образует новых мозаик.

Далее — призматическая группа симметрии, представленная символом (∞ 2 2), имеет бесконечную фундаментальную область. Группа даёт две однородные мозаики, бесконечноугольную призму[англ.] и бесконечноугольную антипризму[англ.].

При совмещении конечных граней этих двух призматических мозаик получим невитхоффову однородную мозаику на плоскости. Она называется изокурносым треугольным паркетом[англ.] и состоит из поочерёдных слоёв квадратов и треугольников.

Прямоугольный фундаментальный треугольник (p q 2)

(p q 2) Фунд.
треугольники
Родитель Усеченная Полностью усечённая Биусечённая Полностью биусечённая
(двойственная)
Скошенная Всеусечённая Плосконосая
Символ Витхоффа q | p 2 2 q | p 2 | p q 2 p | q p | q 2 p q | 2 p q 2 | | p q 2
Символ Шлефли t{p,q} t{p,q} r{p,q} 2t{p,q}=t{q,p} 2r{p,q}={q,p} rr{p,q} tr{p,q} sr{p,q}
Диаграмма Коксетера node_1pnodeqnode node_1pnode_1qnode nodepnode_1qnode nodepnode_1qnode_1 nodepnodeqnode_1 node_1pnodeqnode_1 node_1pnode_1qnode_1 node_hpnode_hqnode_h
Вершинная фигура pq q.2p.2p (p.q)2 p. 2q.2q qp p. 4.q.4 4.2p.2q 3.3.p. 3.q
Квадратная мозаика
(4 4 2)

{4,4}

4.8.8

4.4.4.4

4.8.8

{4,4}

4.4.4.4

4.8.8

3.3.4.3.4
Шестиугольная
мозаика (6 3 2)

{6,3}

3.12.12[англ.]

3.6.3.6

6.6.6

{3,6}

3.4.6.4[англ.]

4.6.12[англ.]

3.3.3.3.6

Фундаментальные треугольники общего вида (p q r)

символ Витхоффа
(p q r)
Фунд.
треугольники
q | p r r q | p r | p q r p | q p | q r p q | r p q r | | p q r
Диаграмма Коксетера 3node_1pnodeqnoder 3node_1pnode_1qnoder 3nodepnode_1qnoder 3nodepnode_1qnode_1r 3nodepnodeqnode_1r 3node_1pnodeqnode_1r 3node_1pnode_1qnode_1r 3node_hpnode_hqnode_hr
Вершинная конфигурация (p.q)r r.2p.q.2p (p.r)q q.2r.p. 2r (q.r)p q.2r.p. 2r r.2q.p. 2q 3.r.3.q.3.p
Треугольная
(3 3 3)

(3.3)3

3.6.3.6

(3.3)3

3.6.3.6

(3.3)3

3.6.3.6

6.6.6

3.3.3.3.3.3

Несимплициальные фундаментальные области

Единственной возможной фундаментальной областью в евклидовом пространстве, не являющейся симплексом, является прямоугольник (∞ 2 ∞ 2) с диаграммой Коксетера nodeinfinnode2nodeinfinnode. Из этой области становятся получаются только квадратные паркеты.

Однородные мозаики на гиперболической плоскости

[править | править код]

Существует бесконечно много однородных мозаик из выпуклых правильных многоугольников на гиперболической плоскости, каждая из которых основана на различных группах зеркальной симметрии (p q r).

Примеры, показанные здесь, даны в проекции на диск Пуанкаре.

Диаграммы Коксетера — Дынкина даны в линейной форме, хотя, на самом деле, это треугольники, в которых конечный сегмент r соединён с первым узлом.

Кроме того, на гиперболической плоскости существуют четырёхугольные фундаментальные области, начиная с (2 2 2 3), которые могут образовать новые формы. Также существуют фундаментальные области с вершинами на бесконечности, такие как (∞ 2 3).

Прямоугольные фундаментальные треугольники (p q 2)

(p q 2) Фунд.
треугольники
Родитель Усечённая Полностью усечённая Биусечённая Полностью биусечённая
(двойственная)
Скошенная Всеусечённая Плосконосая
Символ Витхоффа q | p 2 2 q | p 2 | p q 2 p | q p | q 2 p q | 2 p q 2 | | p q 2
Символ Шлефли t{p,q} t{p,q} r{p,q} 2t{p,q}=t{q,p} 2r{p,q}={q,p} rr{p,q} tr{p,q} sr{p,q}
Диаграмма Коксетера — Дынкина node_1pnodeqnode node_1pnode_1qnode nodepnode_1qnode nodepnode_1qnode_1 nodepnodeqnode_1 node_1pnodeqnode_1 node_1pnode_1qnode_1 node_hpnode_hqnode_h
Вершинная фигура pq (q.2p.2p) (p.q.p.q) (p. 2q.2q) qp (p. 4.q.4) (4.2p.2q) (3.3.p. 3.q)
(Гиперболическая плоскость)
(5 4 2)

V4.8.10

{5,4}

4.10.10

4.5.4.5

5.8.8

{4,5}

4.4.5.4

4.8.10

3.3.4.3.5
(Гиперболическая плоскость)
(5 5 2)

V4.10.10

{5,5}

5.10.10

5.5.5.5

5.10.10

{5,5}

5.4.5.4

4.10.10

3.3.5.3.5
(Гиперболическая плоскость)
(7 3 2)

V4.6.14

{7,3}

3.14.14

3.7.3.7[англ.]

7.6.6

{3,7}[англ.]

3.4.7.4

4.6.14[англ.]

3.3.3.3.7
(Гиперболическая плоскость)
(8 3 2)

V4.6.16

{8,3}][англ.]

3.16.16

3.8.3.8[англ.]

8.6.6

{3,8}[англ.]

3.4.8.4

4.6.16[англ.]

3.3.3.3.8

Фундаментальные треугольники (p q r) общего вида

Символ Витхоффа
(p q r)
Фундам.
треугольники
q | p r r q | p r | p q r p | q p | q r p q | r p q r | | p q r
Диаграмма Коксетера — Дынкина node_1pnodeqnoder node_1pnode_1qnoder nodepnode_1qnoder nodepnode_1qnode_1r nodepnodeqnode_1r node_1pnodeqnode_1r node_1pnode_1qnode_1r node_hpnode_hqnode_hr
Вершинная фигура (p.r)q (r.2p.q.2p) (p.q)r (q.2r.p. 2r) (q.r)p (r.2q.p. 2q) (2p.2q.2r) (3.r.3.q.3.p)
Гиперболические
(4 3 3)

V6.6.8

(3.4)3

3.8.3.8

(3.4)3

3.6.4.6

(3.3)4

3.6.4.6

6.6.8

3.3.3.3.3.4
Гиперболические
(4 4 3)

V6.8.8

(3.4)4

3.8.4.8

(4.4)3

3.6.4.6

(3.4)4

4.6.4.6

6.8.8

3.3.3.4.3.4
Гиперболические
(4 4 4)

V8.8.8

(4.4)4

4.8.4.8

(4.4)4

4.8.4.8

(4.4)4

4.8.4.8

8.8.8

3.4.3.4.3.4

Расширенный список однородных мозаик

[править | править код]

Существует несколько путей расширения списка однородных мозаик:

  1. Вершинные фигуры могут иметь вырожденные грани и оборачиваться вокруг вершины более одного раза.
  2. Можно включить мозаики со звёздчатыми многоугольниками.
  3. В качестве граней мозаик могут использоваться апейрогоны, {∞}.
  4. Может быть отброшено ограничение, что грани мозаики соприкасаются ребро-к-ребру, что даёт дополнительные мозаики, такие как пифагорова мозаика.

Треугольники групп симметрии с вырожденными гранями включают:

(4/3 4/3 2) (6 3/2 2) (6/5 3 2) (6 6/5 3) (6 6 3/2)

Треугольники групп симметрии с бесконечностями включают:

(4 4/3 ∞) (3/2 3 ∞) (6 6/5 ∞) (3 3/2 ∞)

Бранко Грюнбаум в книге 1987 года Tilings and patterns (Мозаики и узоры) в секции 12.3 приводит список 25 однородных мозаик, включающих 11 выпуклых и ещё 14, которые он называет мозаиками с впадинами. Среди последних включены первые две расширенные мозаики, указанные выше, мозаики со звёздчатыми многоугольными гранями и вершинными фигурами.

Гарольд Коксетер и др. в статье 1954 года 'Uniform polyhedra' (Однородные многогранники) в Таблице 8 Однородные замощения указывает первые три расширения и приводит список из 38 однородных мозаик.

Наконец, если считать мозаики с 2 бесконечноугольниками, можно насчитать, в общей сложности, 39 однородных мозаик.

Вершинные фигуры для шести мозаик с выпуклыми правильными многоугольниками и бесконечноугольными гранями. (символ Витхоффа[англ.] указан красным цветом)

7 новых мозаик с {∞} гранями с вершинными фигурами и символами Витхоффа[англ.]:

  1. ∞.∞ (две грани в виде полуплоскостей, бесконечный диэдр)
  2. 4.4.∞ — ∞ 2 | 2 (бесконечноугольная призма[англ.])
  3. 3.3.3.∞ — | 2 2 ∞ (бесконечноугольная антипризма[англ.])
  4. 4.∞.4/3.∞ — 4/3 4 | ∞ (альтернированный квадратный паркет)
  5. 3.∞.3.∞.3.∞ — 3/2 | 3 ∞ (альтернированный треугольный паркет)
  6. 6.∞.6/5.∞ — 6/5 6 | ∞ (альтернированная тришестиугольная мозаика, только с шестиугольниками)
  7. ∞.3.∞.3/2 — 3/2 3 | ∞ (альтернированная тришестиугольная мозаика, только с треугольниками)

Оставшийся список включает 21 мозаику с 7 {∞} гранями (бесконечноугольники). Если нарисовать мозаики как графы, останется только 14 уникальных мозаик, и первая идентична мозаике 3.4.6.4.

Вершинные фигуры 21 однородной мозаики.

21 мозаик, сгруппированных по общим графам с указанием вершинной фигуры и символа Витхоффа:

Тип Вершинная
конфигурация
Символ Витхоффа
1 3/2.12.6.12 3/2 6 | 6
4.12.4/3.12/11 2 6 (3/2 3) |
2 8/3.4.8/3.∞ 4 ∞ | 4/3
8/3.8.8/5.8/7 4/3 4 (2 ∞) |
8.4/3.8.∞ 4/3 ∞ | 4
3 12/5.6.12/5.∞ 6 ∞ | 6/5
12/5.12.12/7.12/11 6/5 6 (3 ∞) |
12.6/5.12.∞ 6/5 ∞ | 6
4 12/5.3.12/5.6/5 3 6 | 6/5
12/5.4.12/7.4/3 2 6/5 (3/2 3) |
4.3/2.4.6/5 3/2 6 | 2
5 8.8/3.∞ 4/3 4 ∞ |
6 12.12/5.∞ 6/5 6 ∞ |
7 8.4/3.8/5 2 4/3 4 |
8 6.4/3.12/7 2 3 6/5 |
9 12.6/5.12/7 3 6/5 6 |
10 4.8/5.8/5 2 4 | 4/3
11 12/5.12/5.3/2 2 3 | 6/5
12 4.4.3/2.3/2.3/2 невитхоффова
13 4.3/2.4.3/2.3/2 | 2 4/3 4/3 (плосконосая)
14 3.4.3.4/3.3.∞ | 4/3 4 ∞ (плосконосая)

Самодвойственные мозаики

[править | править код]
The {4,4} Квадратный паркет (чёрный) с двойственной ему мозакой (красная).
The {4,4} Квадратный паркет (чёрный) с двойственной ему мозакой (красная).

Мозаики могут быть самодвойственными. Квадратный паркет с символом Шлефли {4,4} является самодвойственным. На рисунке показаны два квадратных паркета (красный и чёрный), двойственных друг другу.

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Norman Johnson Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
    • N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
  • Grünbaum, Branko, G.C. Shephard. Tilings and Patterns (неопр.). — W. H. Freeman and Company[англ.], 1987. — ISBN 0-7167-1193-1. (Star tilings section 12.3)
  • H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller, Uniform polyhedra, Phil. Trans. 1954, 246 A, 401–50 JSTOR: [1] (Table 8)