Каирская пятиугольная мозаика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Каирская пятиугольная мозаика
Тип Двойственная
полуправильная
мозаика
[англ.]
Грани неправильные пятиугольники
Диаграммы
Коксетера — Дынкина
node_fh4node_fh4node
node_fh4node_fh4node_fh
Симметрия p4g, [4+,4], (4*2)
p4, [4,4]+, (442)
Симметрия
вращения
p4, [4,4]+, (442)
Двойственная
мозаика
плосконосая квадратная мозаика
Конфигурация грани V3.3.4.3.4
|
Свойства транзитивная по граням

Каирская пятиугольная мозаика является двойственной полуправильной мозаикой на плоскости. Мозаика получила такое название по египетскому городу Каир, улицы которого вымощены такими плитками[1][2]. Мозаика является одной из 15 известных равногранных (то есть имеющих грани только одного вида) пятиугольных мозаик.

Мозаика также называется сетью Макмагона[3] по имени Перси Александра Макмагона[англ.], опубликовавшего в 1921 году статью «New Mathematical Pastimes» (Новые математические развлечения)[4].

Конвей называет мозаику 4-fold pentille (4-кратный пятипаркет)[5].

Как 2-мерная кристаллическая решётка мозаика имеет те же специальные свойства, что и шестиугольная решётка. Обе решётки являются стандартной реализацией (в терминах М. Котани и Т. Сунада[англ.]) для кристаллических решёток общего вида[6][7].

Геометрия пятиугольников

Грани мозаики не являются правильными пятиугольниками — их стороны не равны (они имеют четыре длинные и одну короткую стороны с отношением [8]), а углы пятиугольника составляют (последовательно) . Мозаика имеет конфигурацию грани V3.3.4.3.4.

Мозаика похожа на призматическую пятиугольную мозаику[англ.] с конфигурацией грани V3.3.3.4.4, но в этой мозаике два прямых угла находятся рядом.

Каирская пятиугольная мозаика имеет два вида с пониженной симметрией, которые являются равногранными пятиугольными мозаиками типов 4 и 8:

p4 (442) pgg (22×)

b=c, d=e
B=D=90°

b=c=d=e
2B+C=D+2E=360°

Двойственная мозаика

[править | править код]

Мозаика является двойственной для плосконосой квадратной мозаики, состоящей из двух квадратов и трёх равносторонних треугольников вокруг каждой вершины[9].

Связь с шестиугольными мозаиками

[править | править код]

Эту мозаику можно рассматривать как объединение двух перпендикулярных шестиугольных мозаик, растянутых в раз. Каждый Шестиугольник делится на четыре пятиугольника. Шестиугольники можно сделать вогнутыми, что приведёт к вогнутым пятиугольникам[10]. Альтернативно, одну шестиугольную мозаику можно оставить правильной, а другую сжать и растянуть (в разных направлениях) в раз, что приводит к образованию 2 видов пятиугольников.

Топологически эквивалентные мозаики

[править | править код]

Как двойственная плосконосой квадратной мозаике данная мозаика имеет фиксированные пропорции. Однако её можно подстроить под другие геометрические формы с той же топологической связностью и другой симметрией. Например, эти мозаики топологически идентичны.

Переплетение «рогожка»[англ.]* Наложение на
каирскую мозаику

Усечённая каирская пятиугольная мозаика

[править | править код]

Усечение 4-валентных вершин создаёт мозаику, связанную с многогранником Голдберга[англ.], и ей может быть дан символ {4+,4}2,1. Пятиугольники усекаются до семиугольников. Двойственная мозаика к {4,4+}2,1 имеет только треугольные грани и связана с геодезическим многогранником[англ.]. Её можно рассматривать как плосконосую квадратную мозаику, в которой квадраты заменены четырьмя треугольниками.


Усечённая каирская пятиугольная мозаика

Кис-плосконосая квадратная мозаика

Связанные многогранники и мозаики

[править | править код]

Каирская пятиугольная мозаика подобна призматической пятиугольной мозаике[англ.] с конфигурацией граней V3.3.3.4.4, двум 2-однородным двойственным мозаикам и двум 3-однородным двойственным, в которых смешаны два типа пятиугольников. Здесь они нарисованы с выделением цветом рёбер[11].


V3.3.3.4.4

V3.3.4.3.4

Каирская пятиугольная мозаика находится в последовательности двойственных плосконосых многогранников и мозаик с конфигурацией граней V3.3.4.3.n.

Она также находится в последовательности двойственных плосконосых многогранников и мозаик с конфигурацией граней V3.3.n.3.n.

Примечания

[править | править код]
  1. Alsina, Nelsen, 2010, с. 164.
  2. Martin, 1982, с. 119.
  3. O'Keeffe, Hyde, 1980, с. 553–618.
  4. Macmahon, 1921, с. 101.
  5. Conway, Burgiel, Goodman-Strass, 2008, с. 288.
  6. Kotani, Sunada, 2000, с. 1–20.
  7. Sunada, 2012.
  8. Arabic / Ismamic geometry 02. Дата обращения: 21 декабря 2017. Архивировано 13 февраля 2014 года.
  9. Weisstein, Eric W. Dual tessellation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  10. Defining a cairo type tiling. Дата обращения: 21 декабря 2017. Архивировано 12 января 2018 года.
  11. Chavey, 1989, с. 147–165.

Литература

[править | править код]
  • Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. Charming proofs: a journey into elegant mathematics. — Mathematical Association of America, 2010. — Т. 42. — (Dolciani mathematical expositions). — ISBN 978-0-88385-348-1.
  • George Edward Martin. Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry. — Springer, 1982. — С. 119. — (Undergraduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-90636-2.
  • O'Keeffe M., Hyde B. G. Plane nets in crystal chemistry // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. — 1980. — Т. 295. — doi:10.1098/rsta.1980.0150. — JSTOR 36648.
  • Major P. A. Macmahon. New Mathematical Pastimes. — University Press, 1921.
  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Chapter 21, Naming Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, p288 table // The Symmetries of Things. — 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5. Архивная копия от 19 сентября 2010 на Wayback Machine
  • Chavey D. Tilings by Regular Polygons—II: A Catalog of Tilings // Computers & Mathematics with Applications. — 1989. — Т. 17. — doi:10.1016/0898-1221(89)90156-9.
  • Kotani M., Sunada T. Standard realizations of crystal lattices via harmonic maps (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society. — 2000. — Vol. 353.
  • Sunada T. Topological Crystallography: With a View Towards Discrete Geometric Analysis. — Japan: Springer, 2012. — Т. 6. — (Surveys and Tutorials in the Applied Mathematical Sciences). — ISBN 9784431541769.

Литература для дальнейшего чтения

[править | править код]