Бета-распределение |
---|
Плотность вероятности |
Функция распределения |
Обозначение |
![{\displaystyle {\text{Beta}}(\alpha ,\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0675ff225ee9d8f275e3f7f7fd842f3dff98be29) |
Параметры |
![{\displaystyle \beta >0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a87dc52878418173659e6d0ff8e77ab2897eac9) |
Носитель |
![{\displaystyle x\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64a15936df283add394ab909aa7a5e24e7fb6bb2) |
Плотность вероятности |
![{\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/555fa3d0d30316b8be1e8649be41a17acd45bbd0) |
Функция распределения |
![{\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/663054c3f3dc36c0c8c445386d9e52aea7e26b07) |
Математическое ожидание |
![{\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28bd51317b477dac57cc5c872c6567a9f4f78396) |
Мода |
для ![{\displaystyle \alpha >1,\beta >1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2f1e017514157062ecc289c4042d17d99a1b77f) |
Дисперсия |
![{\displaystyle {\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/170821a4f691f2daa7afe0a8a8dddceb3ae66d6c) |
Коэффициент асимметрии |
![{\displaystyle {\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43ec71817c032c8eb21b5feadd0ec9b91c747530) |
Коэффициент эксцесса |
![{\displaystyle 6\,{\frac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f948e5600ff3f184889dd1d51ea6197aeda24854) |
Производящая функция моментов |
![{\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b97b0e33f3134c2fc5c484016ab8e03e18d85481) |
Характеристическая функция |
![{\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2404951a0e94d7e5cd53f9f7683f5f3fc3cfa2d1) |
Бе́та-распределе́ние в теории вероятностей и статистике — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Используется для описания случайных величин, значения которых ограничены конечным интервалом.
Пусть распределение случайной величины
задаётся плотностью вероятности
, имеющей вид:
,
где
произвольные фиксированные параметры, и
— бета-функция.
Тогда случайная величина
имеет бета-распределение. Пишут:
.
Форма графика плотности вероятности бета-распределения зависит от выбора параметров
и
.
— график выпуклый и уходит в бесконечность на границах (красная кривая);
или
— график строго убывающий (синяя кривая)
— график строго выпуклый;
— график является прямой линией;
— график строго вогнутый;
график совпадает с графиком плотности стандартного непрерывного равномерного распределения;
или
— график строго возрастающий (зелёная кривая);
— график строго выпуклый;
— график является прямой линией;
— график строго вогнутый;
— график унимодальный (пурпурная и чёрная кривые)
В случае, когда
, плотность вероятности симметрична относительно
(красная и пурпурная кривые), то есть
.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины
, имеющей бета-распределение, имеют вид:
,
.
- Бета-распределение является распределением Пирсона типа I[1].
- Стандартное непрерывное равномерное распределение является частным случаем бета-распределения:
.
- Бета-распределение широко используется в байесовской статистике, так как оно является сопряжённым априорным распределением для распределения Бернулли, биномиального и геометрического распределений.
- Если
— независимые гамма-распределённые случайные величины, причём
, а
, то
.
![Перейти к шаблону «Список вероятностных распределений»](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/14px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png) |
---|
Дискретные | |
---|
Абсолютно непрерывные | |
---|