Центр Штейнера

Центр Штейнера — центр тяжести кривизны Гаусса поверхности тела.

Определение

Пусть $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ — выпуклое тело и $h_{K,p}$ его опорная функция с центром в точке $p$. Точка $p$ является центром Штейнера тела $K$ если

$\int \limits _{\,u\in \mathbb {S} ^{n-1}\,}h_{K,p}(u)\cdot u=0.$

Свойства

Пусть $k(K)$ обозначает центр Штейнера тела $K$.

• Центр Штейнера существует и единствннен для любого выпуклого тела.

• Центр Штейнера суммы Минковского двух тел есть сумма центров этих тел. То есть

  $k(K_{1}+K_{2})=k(K_{1})+k(K_{2}).$

• Отображение $K\mapsto k(K)$ липшицево относительно метрики Хаусдорфа; то есть существует константа $L_{n}$ такая, что

  $|k(K_{1})-k(K_{2})|\leq L_{n}\cdot |K_{1}-K_{2}|_{H},$

где $|K_{1}-K_{2}|_{H},$ обозначает расстояние Хаусдорфа от $K_{1}$ до $K_{2}$.

• Константа $L_{n}$ наименьшая для всех возможных выборов центров $k(K)\in K$.
• $L_{1}=1$, $L_{2}={\tfrac {1}{\pi }}$, $L_{3}={\tfrac {3}{2}}$. В общем случае,

$L_{n}={\tfrac {2}{\sqrt {\pi }}}\cdot {\frac {\Gamma ({\tfrac {n}{2}}+1)}{\Gamma ({\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {1}{2}})}},$

где $\Gamma$ обозначает гамма-функцию.

См. также

• Точка Штейнера — одна из замечательных точек треугольника.

Литература

• Грюнбаум Б. Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел. — 1971.