Опорная функция

Опорной функцией или опорным функционалом множества $M$ , принадлежащего векторному пространству $V$ , называется функция $s_{M}$ на сопряжённом пространстве $V^{*}$ , определяемая соотношением

s_{M}(y)=\sup _{x\in M}y(x).

Например, опорная функция единичного шара в нормированном пространстве $V$ это норма на сопряжённом пространстве.

Свойства[править | править код]

Опорная функция всегда выпуклая, замкнутая и положительно однородная (первой степени).
Оператор $s_{*}\colon M\to s_{M}$ $s_{*}\colon M\to s_{M}$ взаимно однозначно отображает совокупность выпуклых замкнутых множеств в $V$ $V$ на совокупность выпуклых замкнутых положительно однородных функций, обратный оператор — не что иное, как субдифференциал (в нуле) опорной функции.
- Именно, если $M$ — выпуклое замкнутое подмножество в $V$ , то $d(s_{M})=M$ , и если $p$ — выпуклая замкнутая однородная функция на $V^{*}$ , то $s(dp(0))=p$ .
$s_{\lambda A}=\lambda s_{A}$ если $\lambda \geq 0$ .
$s_{A+B}=s_{A}+s_{B}$ , где $A+B$ обозначает сумму Минковского
$s_{A\cap B}=conv(\min\{s_{A},s_{B}\})$ где $conv(f)$ обозначает максимальную выпуклую функцию не превосходящую $f$ .
$s_{A\cup B}=s_{convA\cup B}=\max\{s_{A},s_{B}\}$ где $convX$ обозначает выпуклую оболочку $X$ .