Теорема сравнения Топоногова

Теорема сравнения Топоногова — классическая теорема римановой геометрии в целом.

В двумерном случае теорема была доказана Паоло Пиццетти. Однако его работа оставалась незамеченной целый век. Теорема была независимо передоказана Александром Даниловичем Александровым и обобщена Виктором Андреевичем Топоноговым на старшие размерности. Она послужила отправной точкой в развитии Александровской геометрии ограниченной снизу кривизны.

Вводные определения

Пусть $M$ — полное риманово многообразие размерности хотя бы 2 и с секционной кривизной не меньше некоторой константы $\kappa$.

Обозначим через $\mathbb {M} _{\kappa }$ модельную плоскость кривизны $\kappa$. При $\kappa =0$ это евклидова плоскость, при $\kappa >0$, $\mathbb {M} _{\kappa }$ изометрично поверхности сферы радиуса ${\tfrac {1}{\sqrt {\kappa }}}$ и при $\kappa <0$, $\mathbb {M} _{\kappa }$ есть плоскость Лобачевского кривизны $\kappa$.

Треугольником в $M$ называется тройка кратчайших соединяющие попарно три точки. При этом каждая из трёх точек называется вершиной треугольнка, а величина угла между парой исходящих из вершины кратчайших называется углом при этой вершине.

Пусть $\triangle$ есть треугольник в $M$. Предположим в $\mathbb {M} _{\kappa }$ существует треугольник ${\tilde {\triangle }}_{\kappa }$, с равными соответствующими сторонами и при этом такой треугольник ${\tilde {\triangle }}_{\kappa }$ является единственным с точностью до конгруэнтности. В этом случае треугольник ${\tilde {\triangle }}_{\kappa }$ называется модельным треугольником треугольника $\triangle$ в $M$.

Заметим, что модельный треугольник ${\tilde {\triangle }}_{\kappa }$ всегда определён в случае если $\kappa \leqslant 0$. В случае если $\kappa >0$, это верно если периметр $\triangle$ строго меньше $2\cdot \pi /{\sqrt {\kappa }}$.

Пусть $\triangle {\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}$ в $\mathbb {M} _{\kappa }$ есть модельный треугольник $\triangle xyz$ в $M$. Определим модельный угол ${\tilde {\measuredangle }}_{\kappa }xyz$ как угловую меру $\measuredangle {\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}$.

Формулировка

Теорема. Пусть $M$ — полное риманово многообразие размерности хотя бы 2 и с секционной кривизной не меньше некоторой константы $\kappa$. Тогда углы любого треугольника $\triangle$ в M не меньше соответствующих углов его модельного треугольника ${\tilde {\triangle }}_{\kappa }$. Иначе говоря

${\tilde {\measuredangle }}_{\kappa }xyz\leqslant \measuredangle xyz$

для любого треугольника $\triangle xyz$.

Следствия

• Предположим $M$ — полное риманово многообразие с неотрицательной секционной кривизной. Тогда для любой точки $p\in M$, функция $f(x)=|p-x|_{M}^{2}$ является 2-вогнутой; то есть, для любой нормальной геодезической $\gamma$ функция $t\mapsto f\circ \gamma (t)-t^{2}$ является вогнутой.

Вариации и обобщения

• Обратная теорема также верна, то есть если сравнение углов верно для любого треугольника в римановом многообразии $M$ то $M$ имеет кривизну хотя бы $\kappa$.

• Для каждой точки $x$ на стороне треугольника $\triangle$, обозначим через ${\tilde {x}}$ соответственную точку на стороне ${\tilde {\triangle }}\kappa$. Тогда утверждение теоремы эквивалентно выполнению следующего неравенства

  $|{\tilde {x}}-{\tilde {y}}|_{\mathbb {M} _{\kappa }}\leqslant |x-y|_{M}$

где $|x-y|_{M}$ обозначает расстояние между точками $x$ и $y$ в римановом многообразии $M$.

• Утверждение теоремы эквивалентно выполнению следующего неравенства

  ${\tilde {\measuredangle }}_{\kappa }xpy+{\tilde {\measuredangle }}_{\kappa }ypz+{\tilde {\measuredangle }}_{\kappa }zpx\leqslant 2\cdot \pi$

для произвольной четвёрки точек $p,x,y,z\in M$

• Теорема Топоногова даёт полное описание метрических пространств, которые изометричны четырёточечным подмножествам полного риманова многообразия с неотрицательной кривизной.
  • Известно аналогичное описание пятиточечных подмножеств.

См. также

• Теорема сравнения Рауха

Литература

• Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, Мир, 1971, с. 343.
• Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию. — Санкт-Петербург: Наука, 1994. — ISBN 5-02-024606-9.