Теорема сравнения Рауха

Теорема сравнения Рауха — фундаментальный результат римановой геометрии. Доказана Раухом.

Теорема утверждает, что в пространствах с большей секционной кривизной геодезические имеют тенденцию сходиться быстрее. Точная формулировка использует поля Якоби.

Формулировка

Пусть $M$ и ${\tilde {M}}$ суть римановы многообразия. Пусть $\gamma \colon [0,T]\to M$ и ${\tilde {\gamma }}\colon [0,T]\to {\tilde {M}}$ суть геодезические с единичной скоростью, такие, что ${\widetilde {\gamma }}(0)$ не имеет сопряженных точек вдоль ${\tilde {\gamma }}$, и пусть $J,{\tilde {J}}$ — нормальные поля Якоби вдоль $\gamma$ и ${\tilde {\gamma }}$, такие, что $J(0)={\tilde {J}}(0)=0$ и $|J'(0)|=|{\tilde {J}}'(0)|$. Предположим, что секционные кривизны $M$ и ${\tilde {M}}$ всюду удовлетворяют $K(\Pi )\leqslant {\widetilde {K}}({\widetilde {\Pi }})$, где $\Pi \subset T_{\gamma (t)}M$ — это 2-плоскость, содержащая ${\dot {\gamma }}(t)$, а ${\tilde {\Pi }}\subset T_{{\tilde {\gamma }}(t)}{\tilde {M}}$ — 2-плоскость, содержащая ${\dot {\tilde {\gamma }}}(t)$. Тогда $|J(t)|\geqslant |{\tilde {J}}(t)|$ для всех $t\in [0,T]$.

Следствия

Пусть $M$ — риманово многообразие, и геодезическая $\gamma \colon [0,T]\to M$ не имеет сопряжённых точек, тогда:

• Если $M$ имеет неотрицательную секционную кривизну, то для любого поля Якоби $J$ такого, что $J(0)=0$, имеем

  $|J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |t|.$

• Если секционная кривизна $M$ не меньше 1, то

  $|J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |\sin t|.$

• Если секционная кривизна $M$ не больше −1, то

  $|J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |\operatorname {sh} t|.$

См. также

• Теорема сравнения Топоногова
• Теорема сравнения Штурма

Ссылки

• Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, Мир, 1971, с. 343.
• Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию. — Санкт-Петербург: Наука, 1994. — ISBN 5-02-024606-9.