Существенное многообразие

Существенные многообразия — особый тип замкнутых многообразий. Понятие было введено Громовым в исследовании систолического неравенства.

Определение

$n$-мерное замкнутое многообразие $M$ называется существенным, если существует асферическое топологическое пространство $K$ и непрерывное отображение $M\to K$ которое переводит фундаментальный калсс $M$ в ненулевой класс гомологий $K$.

Иначе говоря, фундаментальный класс $[M]$ определяет ненулевой элемент в гомологиях его фундаментальной группы $\pi _{1}(M)$. Точнее, если $N$ есть $K(\pi _{1}(M),1)$ пространство, то отображение $M\to N$ индуцирующее изоморфизм фундаментальных групп даёт нетривиальный гомоморфизм

$H_{n}(M)\to H_{n}(N).$

Здесь фундаментальный класс берётся в гомологиях с целыми коэффициентами, если многообразие ориентируемо, и коэффициентами по модулю 2 в противном  случае.

Примеры

• Все замкнутые поверхности (т. е. 2-мерные многообразия) являются существенными, за исключением 2-сферы S².
• Вещественное проективное пространство $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}$ является существенным, поскольку включение

  $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}\to \mathbb {R} \mathrm {P} ^{\infty }$

является инъективным в гомологиях и

$\mathbb {R} \mathrm {P} ^{\infty }=K(\mathbb {Z} _{2},1)$

— это K(π,1)-пространство конечной циклической группы порядка 2.

• Все компактные асферические многообразия являются существенными (поскольку асферичность подразумевает, что многообразие само уже является K(G,1) пространством).
  • В частности, все компактные гиперболические многообразия являются существенными.
• Все линзовые пространства являются существенными.

Свойства

• Связная сумма существенного многообразия с любым замкнутым многообразием существенна.
• Прямое произведение существенных многообразий существенно.
• Любое многообразие, допускающее отображение ненулевой степени в существенное, также является существенным.
• Для существенных многообразий выполняется систолическое неравенство.
  • Это свойство является первопричиной введения этого определения.