Систолическое неравенство

Систола тора.

Систолическое неравенство — неравенство следующего вида

$\operatorname {sys} M\leqslant c_{n}\cdot {\sqrt[{n}]{\operatorname {vol} M}},$

где $M$ есть замкнутое $n$-мерное риманово многообразие в определённом классе, $\operatorname {sys} M$ — длина кратчайшей нестягиваемой замкнутой кривой на $M$ (так называемая систола $M$) и $\operatorname {vol} M$ — его объём.

Как определённый класс обычно берётся топологический тип многообразия, но иногда рассматриваются, например, класс римановых многообразий конформно эквивалентных данному.

Для многих топологических типов многообразий, например для произведения сферы и окружности $\mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}$ систолическое неравенство не выполняется — существуют римановы метрики на $\mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}$ с произвольно малым объёмом и произвольно длинной систолой.

Примеры

• Неравенство Левнера — оптимальное систолическое неравенство для двумерного тора $\mathbb {T} ^{2}$ с константой ${\tfrac {\sqrt {2}}{\sqrt[{4}]{3}}}$.
• Неравенство Пу — оптимальное систолическое неравенство для вещественной проективной плоскости $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}$ с константой ${\sqrt {\tfrac {\pi }{2}}}$.
• Оптимальная константа известна также для бутылки Кляйна; она равна ${\tfrac {\sqrt {\pi }}{2^{3/4}}}$.
• Систолическое неравенство выполняется для метрик конформно эквивалентных канонической метрике на торе и проективного пространства всех размерностей. Более того равенство достигается для канонической метрики.
• Неравенство Громова для существенных многообразий

  $\operatorname {sys} M\leqslant c_{n}\cdot {\sqrt[{n}]{\operatorname {vol} M}},$

  • В частности систолическое неравенство выполняется для всех замкнутых поверхностей кроме сферы, а также торов и проективных пространстве всех размерностей.
  • Известно, что оптимальная константа $c_{n}$ не превосходит ${\sqrt[{n}]{n!}}={\tfrac {n}{e}}+o(n)$.
  • Пример проективного пространства с канонической метрикой даёт нижнюю оценку на $c_{n}$, которая растёт как ${\sqrt {n}}$; возможно это и есть оптимальная константа.