Преобразование Хартли

Преобразование Хартли (Hartley transform) — интегральное преобразование, тесно связанное с преобразованием Фурье, но в отличие от последнего трансформирует одни вещественные функции в другие вещественные же функции. Преобразование было предложено в качестве альтернативы преобразованию Фурье Р. Хартли в 1942 году. Преобразование Хартли является одним из многих известных типов преобразований Фурье. Преобразование Хартли может быть и обратным.

Дискретный вариант преобразования Хартли был представлен Рональдом Брейсуэллом в 1983 году.

Определение

Прямое преобразование

Преобразование Хартли $H(\omega )$ рассчитывается по формуле

$H(\omega )=\left\{{\mathcal {H}}f\right\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,{\mbox{cas}}(\omega t)\mathrm {d} t,$

где

${\mbox{cas}}(t)=\cos(t)+\sin(t)={\sqrt {2}}\sin(t+{\frac {\pi }{4}})={\sqrt {2}}\cos(t-{\frac {\pi }{4}})$ — ядро Хартли.

Обратное преобразование

Обратное преобразование получается по принципу инволюции:

$f=\{{\mathcal {H}}\{{\mathcal {H}}f\}\}$

Уточнения

• Вместо того, чтобы использовать одинаковые формулы для прямого и обратного преобразования, можно ввести коэффициент ${\frac {1}{2\pi }}$ для обратного и вынести тот же коэффициент из прямого преобразования Хартли. Этот способ называется асимметричной нормализацией;
• Можно использовать коэффициент $2\pi \nu t$ вместо $\omega t$, полностью опустив коэффициент ${\frac {1}{2\pi }}$;
• Можно использовать вычитание косинуса и синуса вместо их суммы.

Связь с преобразованием Фурье

Преобразование Хартли отличается от преобразования Фурье выбором ядра.

В преобразовании Фурье используется экспоненциальное ядро

$\exp \left({-i\omega t}\right)=\cos(\omega t)-i\sin(\omega t),$

где

$i$ — мнимая единица.

Эти два преобразования тесно связаны, и если они имеют одинаковую нормализацию, то

$F(\omega )={\frac {H(\omega )+H(-\omega )}{2}}-i{\frac {H(\omega )-H(-\omega )}{2}}$

Для вещественных функций $f(t)$ преобразование Хартли превращается в комплексное преобразование Фурье:

$\{{\mathcal {H}}f\}=\Re \{{\mathcal {F}}f\}-\Im \{{\mathcal {F}}f\}=\Re \{{\mathcal {F}}f\cdot (1+i)\},$

где

$\Re$ и $\Im$ — действительная и мнимая часть функции соответственно.

Свойства

Преобразование Хартли — вещественный симметричный унитарный линейный оператор

Существует так же аналог теоремы свёртки: если две функции $x(t)$ и $y(t)$ имеют преобразования Хартли $X(t)$ и $Y(t)$ соответственно, то их свёртка $z(t)=x*y$ будет иметь преобразование

$Z(\omega )=\{{\mathcal {H}}(x*y)\}={\sqrt {2\pi }}\left(X(\omega )\left[Y(\omega )+Y(-\omega )\right]+X(-\omega )\left[Y(\omega )-Y(-\omega )\right]\right)/2$

Как и преобразование Фурье, преобразование Хартли будет являться чётной или нечётной функцией в зависимости от характера преобразуемой функции.

Cas

Свойства ядра Хартли вытекают из свойств тригонометрических функций. Так как

${\mbox{cas}}(t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4),$

то

$2{\mbox{cas}}(a+b)={\mbox{cas}}(a){\mbox{cas}}(b)+{\mbox{cas}}(-a){\mbox{cas}}(b)+{\mbox{cas}}(a){\mbox{cas}}(-b)-{\mbox{cas}}(-a){\mbox{cas}}(-b)$ и

${\mbox{cas}}(a+b)=\cos(a){\mbox{cas}}(b)+\sin(a){\mbox{cas}}(-b)=\cos(b){\mbox{cas}}(a)+\sin(b){\mbox{cas}}(-a)$

Производная ядра равна

${\mbox{cas}}'(a)={\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}a}}{\mbox{cas}}(a)=\cos(a)-\sin(a)={\mbox{cas}}(-a)$

Литература

• РОНАЛЬД Н. БРЕЙСУЭЛЛ Преобразование Фурье [1] Архивная копия от 24 мая 2017 на Wayback Machine
• Hartley, R. V. L., A more symmetrical Fourier analysis applied to transmission problems Архивная копия от 2 июня 2008 на Wayback Machine, Proc. IRE 30, 144—150 (1942).
• Bracewell, R. N., The Fourier Transform and Its Applications (McGraw-Hill, 1965, 2nd ed. 1978, revised 1986) (also translated into Japanese and Polish)
• Bracewell, R. N., The Hartley Transform (Oxford University Press, 1986) (also translated into German and Russian)
• Bracewell, R. N., Шаблон:Doi-inline, Proc. IEEE 82 (3), 381—387 (1994).
• Millane, R. P., Шаблон:Doi-inline, Proc. IEEE 82 (3), 413—428 (1994).
• Villasenor, John D., Шаблон:Doi-inline, Proc. IEEE 82 (3), 391—399 (1994).