Интеграл, зависящий от параметра — математическое выражение , содержащее определённый интеграл и зависящее от одной или нескольких переменных («параметров»).
Зависящий от параметра собственный интеграл [ править | править код ]
Пусть в двумерном евклидовом пространстве задана область
G
¯
=
{
(
x
,
y
)
|
a
≤
x
≤
b
,
c
≤
y
≤
d
}
{\displaystyle {\overline {G}}=\left\{\left(x,y\right)|a\leq x\leq b,c\leq y\leq d\right\}}
, на которой определена функция
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
двух переменных.
Пусть далее,
∀
y
∈
[
c
;
d
]
∃
I
(
y
)
=
∫
a
b
f
(
x
,
y
)
d
x
{\displaystyle \forall y\in \left[c;d\right]\,\exists I\left(y\right)=\int \limits _{a}^{b}f\left(x,y\right)\,dx}
.
Функция
I
(
y
)
{\displaystyle I(y)}
и называется интегралом , зависящим от параметра.
Свойства интеграла, зависящего от параметра [ править | править код ]
Пусть функция
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
непрерывна в области
G
¯
{\displaystyle {\overline {G}}}
как функция двух переменных. Тогда функция
I
(
y
)
=
∫
a
b
f
(
x
,
y
)
d
x
{\displaystyle I\left(y\right)=\int \limits _{a}^{b}f\left(x,y\right)\,dx}
непрерывна на отрезке
[
c
;
d
]
{\displaystyle [c;d]}
.
Рассмотрим приращение интеграла, зависящего от параметра.
Δ
I
(
y
)
=
I
(
y
+
Δ
y
)
−
I
(
y
)
=
∫
a
b
f
(
x
,
y
+
Δ
y
)
d
x
−
∫
a
b
f
(
x
,
y
)
d
x
=
{\displaystyle \Delta I\left(y\right)=I\left(y+\Delta y\right)-I\left(y\right)=\int \limits _{a}^{b}f\left(x,y+\Delta y\right)\,dx-\int \limits _{a}^{b}f\left(x,y\right)\,dx=}
=
∫
a
b
(
f
(
x
,
y
+
Δ
y
)
−
f
(
x
,
y
)
)
d
x
{\displaystyle =\int \limits _{a}^{b}\left(f\left(x,y+\Delta y\right)-f\left(x,y\right)\right)\,dx}
.
По теореме Кантора , непрерывная на компакте функция равномерно непрерывна на нём, то есть
∀
ϵ
>
0
∃
δ
=
δ
(
ϵ
)
>
0
∀
M
1
(
x
1
,
y
1
)
,
M
2
(
x
2
,
y
2
)
∈
G
¯
:
{\displaystyle \forall \epsilon >0\,\exists \delta =\delta \left(\epsilon \right)>0\,\forall M_{1}(x_{1},y_{1}),M_{2}(x_{2},y_{2})\in {\overline {G}}:}
(
x
2
−
x
1
)
2
+
(
y
2
−
y
1
)
2
<
δ
|
f
(
M
1
)
−
f
(
M
2
)
|
<
ϵ
{\displaystyle {\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}<\delta \,\left|f(M_{1})-f(M_{2})\right|<\epsilon }
.
Следовательно,
Δ
I
(
y
)
<
ϵ
(
b
−
a
)
{\displaystyle \Delta I(y)<\epsilon (b-a)}
при
Δ
y
<
δ
{\displaystyle \Delta y<\delta }
, что и означает непрерывность функции
Дифференцирование под знаком интеграла [ править | править код ]
Пусть теперь на области
G
¯
{\displaystyle {\overline {G}}}
непрерывна не только функция
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
, но и её частная производная
∂
f
∂
y
(
x
,
y
)
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}\left(x,y\right)}
.
Тогда
d
d
y
I
(
y
)
=
∫
a
b
∂
f
∂
y
(
x
,
y
)
d
x
{\displaystyle {\frac {d}{dy}}I(y)=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(x,y\right)\,dx}
, или, что то же самое,
d
d
y
∫
a
b
f
(
x
,
y
)
d
x
=
∫
a
b
∂
f
∂
y
(
x
,
y
)
d
x
{\displaystyle {\frac {d}{dy}}\int \limits _{a}^{b}f(x,y)\,dx=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(x,y\right)\,dx}
Δ
I
(
y
)
Δ
y
=
1
Δ
y
∫
a
b
(
f
(
x
,
y
+
Δ
y
)
−
f
(
x
,
y
)
)
d
x
=
∫
a
b
∂
f
∂
y
(
x
,
η
)
d
x
=
∫
a
b
∂
f
∂
y
(
x
,
y
+
Θ
Δ
y
)
d
x
{\displaystyle {\frac {\Delta I(y)}{\Delta y}}={\frac {1}{\Delta y}}\int \limits _{a}^{b}(f(x,y+\Delta y)-f(x,y))dx=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,\eta )dx=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y+\Theta \Delta y)dx}
(
η
∈
[
y
;
y
+
Δ
y
]
,
Θ
∈
[
0
;
1
]
)
{\displaystyle (\eta \in [y;y+\Delta y],\Theta \in [0;1])}
Данные преобразования были выполнены с использованием теоремы о среднем Лагранжа . Рассмотрим теперь выражение
Δ
I
(
y
)
Δ
y
−
∫
a
b
∂
f
∂
y
(
x
,
y
)
d
x
=
∫
a
b
(
∂
f
∂
y
(
x
,
y
+
Θ
Δ
y
)
−
∂
f
∂
y
(
x
,
y
)
)
d
x
{\displaystyle {\frac {\Delta I(y)}{\Delta y}}-\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(x,y\right)\,dx=\int \limits _{a}^{b}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\left(x,y+\Theta \Delta y\right)-{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(x,y\right)\right)\,dx}
.
Используя вновь теорему Кантора , но для функции
∂
f
∂
y
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}}
мы получаем, что
Δ
I
(
y
)
Δ
y
−
∫
a
b
∂
f
∂
y
(
x
,
y
)
d
x
=
o
(
1
)
{\displaystyle {\frac {\Delta I(y)}{\Delta y}}-\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(x,y\right)\,dx=o(1)}
при
Δ
(
y
)
→
0
{\displaystyle \Delta (y)\to 0}
, что и доказывает данную теорему
Интегрирование под знаком интеграла [ править | править код ]
Если функция
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
непрерывна в области
G
¯
{\displaystyle {\overline {G}}}
, то
∫
c
d
I
(
y
)
d
y
=
∫
a
b
(
∫
c
d
f
(
x
,
y
)
d
y
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{c}^{d}I(y)\,dy=\int \limits _{a}^{b}\left(\int \limits _{c}^{d}f(x,y)\,dy\right)\,dx}
, или, что то же самое:
∫
c
d
(
∫
a
b
f
(
x
,
y
)
d
x
)
d
y
=
∫
a
b
(
∫
c
d
f
(
x
,
y
)
d
y
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{c}^{d}\left(\int \limits _{a}^{b}f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int \limits _{a}^{b}\left(\int \limits _{c}^{d}f(x,y)\,dy\right)\,dx}
Рассмотрим две функции:
F
(
x
)
=
∫
a
x
(
∫
c
d
f
(
x
,
y
)
d
y
)
d
x
{\displaystyle F(x)=\int \limits _{a}^{x}\left(\int \limits _{c}^{d}f(x,y)\,dy\right)\,dx}
G
(
x
)
=
∫
c
d
(
∫
a
x
f
(
x
,
y
)
d
x
)
d
y
{\displaystyle G(x)=\int \limits _{c}^{d}\left(\int \limits _{a}^{x}f(x,y)\,dx\right)\,dy}
d
F
d
x
=
∫
c
d
f
(
x
,
y
)
d
y
{\displaystyle {\frac {dF}{dx}}=\int \limits _{c}^{d}f(x,y)\,dy}
d
G
d
x
=
∫
c
d
(
d
d
x
∫
a
x
f
(
x
,
y
)
d
x
)
d
y
=
∫
c
d
f
(
x
,
y
)
d
y
{\displaystyle {\frac {dG}{dx}}=\int \limits _{c}^{d}\left({\frac {d}{dx}}\int \limits _{a}^{x}f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int \limits _{c}^{d}f(x,y)\,dy}
d
F
d
x
≡
d
G
d
x
{\displaystyle {\frac {dF}{dx}}\equiv {\frac {dG}{dx}}}
на
[
a
;
b
]
{\displaystyle [a;b]}
, следовательно
F
(
x
)
≡
G
(
x
)
+
C
{\displaystyle F(x)\equiv G(x)+C}
.
Так как
F
(
a
)
=
0
,
G
(
a
)
=
∫
c
d
0
d
y
=
0
{\displaystyle F(a)=0,\;G(a)=\int \limits _{c}^{d}0\;dy=0}
, то
C
=
0
{\displaystyle C=0}
и
F
(
x
)
≡
G
(
x
)
{\displaystyle F(x)\equiv G(x)}
На
[
a
;
b
]
{\displaystyle [a;b]}
. Подставляя
x
=
b
{\displaystyle x=b}
получаем условие теоремы.