Потенциал Пёшль — Теллера

Потенциал Пёшль — Теллера — функция потенциальной энергии электростатического поля, предложенная венгерскими физиками Гертой Пёшль и Эдвардом Теллером как приближение для энергии двухатомной молекулы, альтернативный потенциалу Морзе. Потенциал имеет вид

$U(x)={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}a^{2}\left({\frac {\varkappa (\varkappa -1)}{\sin ^{2}ax}}+{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\cos ^{2}ax}}\right)$

на промежутке $0\leqslant x\leqslant \pi /(2a)$, на границе которого он обращается в бесконечность. Параметры удовлетворяют условиям $\varkappa >1$ и $\lambda >1$. Иногда потенциалом Пёшль — Теллера называют модифицированный потенциал Пёшль — Теллера.

График потенциала Пёшль — Теллера с фиксированным параметром $\lambda =3$ и различными значениями $\varkappa$

Уравнение Шрёдингера с потенциалом Пёшль — Теллера

Стационарное уравнение Шрёдингера с потенциалом Пёшль — Теллера имеет вид:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}a^{2}\left({\frac {\varkappa (\varkappa -1)}{\sin ^{2}ax}}+{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\cos ^{2}ax}}\right)\Psi (x)=E\Psi (x).$

Если ввести обозначение $k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}$, то оно примет вид:

$\Psi ''(x)+\left(k^{2}-a^{2}{\frac {\varkappa (\varkappa -1)}{\sin ^{2}ax}}-a^{2}{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\cos ^{2}ax}}\right)\Psi (x)=0.$

После замены переменных

$y=\sin ^{2}ax$

получим

$y(1-y)\Psi ''(y)+\left({\frac {1}{2}}-y\right)\Psi '(y)+{\frac {1}{4}}\left({\frac {k^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\varkappa (\varkappa -1)}{y}}-{\frac {\lambda (\lambda -1)}{1-y}}\right)\Psi (y)=0.$

Так как точки 0 и 1 являются особыми, то естественно представить решение в виде:

$\Psi (y)=y^{\mu }(1-y)^{\nu }f(y)$

Если выбрать

$\mu ={\frac {\varkappa }{2}},\qquad \nu ={\frac {\lambda }{2}},$

то уравнение приведётся к гипергеометрическому виду:

$y(1-y)f''(y)+\left(\left(\varkappa +{\frac {1}{2}}\right)-y\left(\varkappa +\lambda +1\right)\right)f'(y)+{\frac {1}{4}}\left({\frac {\varkappa ^{2}}{a^{2}}}+(\varkappa +\lambda )^{2}\right)f(y)=0.$

Общее решение данного уравнения может быть выражено через гипергеометрические функции:

$f(y)=C_{1}\;_{2}F_{1}(a,b;c;y)+C_{2}y^{1-c}\;_{2}F_{1}(a+1-c,b+1-c;2-c;y),$

где введены обозначения:

$a={\frac {1}{2}}\left(\varkappa +\lambda +{\frac {k}{a}}\right),\quad b={\frac {1}{2}}\left(\varkappa +\lambda -{\frac {k}{a}}\right),\quad c=\varkappa +{\frac {1}{2}}.$

Если учесть граничные условия:

$\Psi (0)=\Psi (1)=0,$

то получим собственные функции

$\Psi _{n}(x)=C_{1}\sin ^{\varkappa }(ax)\cos ^{\lambda }(ax)\;_{2}F_{1}(-n,\varkappa +\lambda +n;\varkappa +{\frac {1}{2}};\sin ^{2}ax),$

где константа вычисляется с учётом нормировки:

$C_{1}=\left(\int \limits _{0}^{1}\sin ^{\varkappa }(ax)\cos ^{\lambda }(ax)\;_{2}F_{1}(-n,\varkappa +\lambda +n;\varkappa +{\frac {1}{2}};\sin ^{2}ax)dx\right)^{-{\frac {1}{2}}}.$

Соответствующие уровни энергии равны:

$E_{n}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(\varkappa +\lambda +2n)^{2},\quad n\in \mathbb {Z} _{+}.$

Литература

• З. Флюгге. Задачи по квантовой механике. — Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1.

• I. G. Kaplan. Intermolecular interactions. — 2006.

• Paul Harrison. Quantum wells, wires, and dots. — 2005.