Дираковская потенциальная гребёнка

Дираковская потенциальная гребёнка, в квантовой механике, периодический потенциал, образованный последовательностью δ-функций Дирака.

$U(x)={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\Omega \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x+na),$

где a — интервал между соседними сингулярными точками. Это простейшая модель, в которой возникает зонная структура спектра.

Уравнение Шрёдингера с потенциалом в виде дираковской потенциальной гребёнки

Уравнение Шрёдингера принимает вид

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\Omega \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x+na)\Psi (x)=E\Psi (x).$

Вводя обозначение $k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}$, получим:

$\Psi ''(x)+\left(k^{2}-2\Omega \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x+na)\right)\Psi (x)=0.$

В интервале $0<x<a$ уравнение принимает вид:

$\Psi ''(x)+k^{2}\Psi (x)=0$

и его общее решение равно

$\Psi (x)=C_{1}e^{ikx}+C_{2}e^{-ikx}.$

Так как потенциал периодический, то в интервале $a<x<2a$ решение имеет вид

$\Psi (x)=e^{iKa}\left(C_{1}e^{ik(x-a)}+C_{2}e^{-ik(x-a)}\right).$

Условие непрерывности волновой функции

$\Psi (a+0)=\Psi (a-0).$

Интегрируя уравнение Шрёдингера в окрестности точки $x=a$, получим условие сшивки для производных:

$\Psi '(a+0)=\Psi '(a-0)+2\Omega \Psi (a).$

Учитывая эти условия, имеем:

$e^{iKa}(A+B)=Ae^{ika}+Be^{-ika},$

$ike^{iKa}(A-B)=ik(Ae^{ika}-Be^{-ika})+2\Omega (Ae^{ika}+Be^{-ika}).$

Данное уравнение имеет нетривиальные решения при

$\cos Ka=\cos ka+{\frac {\Omega }{k}}\sin ka.$

Из этого следует, что зоны разрешённых значений энергии определяются неравенством

$|\cos ka+{\frac {\Omega }{k}}\sin ka|\leqslant 1.$

Соответствующий спектр энергий:

$E={\frac {\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}(ka)^{2}.$

Литература

• З. Флюгге. Задачи по квантовой механике. — Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1.

См. также

Частица в периодическом потенциале