Минимальная поверхность Шварца

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Минимальные поверхности Шварца — это периодические минимальные поверхности, первоначально описанные Карлом Шварцем.

В 1880-х годах Шварц и его студент Е. Р. Неовиус описали периодические минимальные поверхности[1][2]. Им позднее дал названия Алан Шён в его фундаментальном отчёте, где он описал гироид и другие трижды периодические минимальные поверхности[3].

Поверхности генерировались с помощью симметрий: если дано решение задачи Плато для многоугольника, отражения поверхности относительно линий границы также даёт правильные минимальные поверхности, которые могут быть непрерывным образом соединены с исходным решением. Если минимальная поверхность встречает плоскость под прямыми углами, то зеркальное отражение относительно плоскости также может быть присоединено к поверхности. Следовательно, если дан подходящий начальный многоугольник, вписанный в единичную ячейку, периодическая поверхность может быть построена[4].

Поверхности Шварца имеют топологический род 3, минимальный род трижды периодических минимальных поверхностей[5].

Они рассматривались как модели для периодических наноструктур в блок-сополимерах, электростанических эквипотенциальных поверхностях в кристаллах[6] и гипотетических отрицательно искривлённых графитовых фазах[7].

Поверхность Шварца P («Primitive» = «Примитивная»)

[править | править код]
Поверхность Шварца P

Шён назвал эти поверхности «примитивными», поскольку они имеют два переплетённых конгруэнтных лабиринта, каждый из которых имеет форму раздутой трубчатой версии простой кубической решётки. В то время как стандартная поверхность P имеет кубическую симметрию, ячейки могут иметь форму любого прямоугольника, что даёт семейство минимальных поверхностей с одной и той же топологией[8].

Поверхность можно аппроксимировать явной поверхностью

[9].

Поверхность P рассматривалась для разработки прототипов тканевых каркасов с высоким отношением поверхности к объёму и высокой пористостью[10].

Поверхность Шварца D («Diamond» = «Алмаз»)

[править | править код]
Поверхность Шварца D

Шён назвал эту поверхность «алмазом», поскольку она имеет два переплетающихся конгруэнтных лабиринта, каждый из которых имеет форму раздутой полой версии алмазной структуры связи[англ.]. В литературе эта поверхность иногда называется поверхностью F.

Поверхность может быть аппроксимирована явной поверхностью

Точное выражение существует в терминах эллиптических интегралов, основанных на параметризации Вейерштрасса — Эннепера[11].

Поверхность Шварца H («Hexagonal» = «Шестиугольная»)

[править | править код]
Поверхность Шварца H

Поверхность Шварца H подобна катеноиду с треугольной границей, что позволяет заполнить всё пространство.

Поверхность Шварца CLP («Crossed layers of parallels» = «Скрещённые слои параллелей»)

[править | править код]
Поверхность Шварца CLP

Иллюстрации

[править | править код]

Примечания

[править | править код]
  1. Schwarz, 1933.
  2. Neovius, 1883.
  3. Schoen, 1970.
  4. Karcher, Polthier, 1996, с. 2077–2104.
  5. Alan Schoen geometry. Дата обращения: 30 июля 2020. Архивировано 26 мая 2020 года.
  6. Mackay, 1985, с. 604–606.
  7. Terrones, Mackay, 1994, с. 183–195.
  8. Meeks, 1990, с. 77—936.
  9. Triply Periodic Level Surfaces. Дата обращения: 10 февраля 2019. Архивировано 12 февраля 2019 года.
  10. Shin, Kim, Jeong и др., 2012.
  11. Gandy, Cvijović, Mackay, Klinowski, 1999, с. 543–551.

Литература

[править | править код]
  • H. A. Schwarz. Gesammelte Mathematische Abhandlungen. — Berlin: Springer, 1933.
  • E. R. Neovius. Akad. Abhandlungen. — Helsingfors, 1883.
  • Alan H. Schoen. Infinite periodic minimal surfaces without self-intersections // NASA Technical Note TN D-5541. — 1970.
  • Hermann Karcher, Konrad Polthier. Construction of Triply Periodic Minimal Surfaces // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. — 1996. — Сентябрь (т. 354, № 1715).
  • Alan L. Mackay. Periodic minimal surfaces // Nature. — 1985. — Апрель (т. 314, № 6012). — doi:10.1038/314604a0.
  • Terrones H., Mackay A. L. Negatively curved graphite and triply periodic minimal surfaces. — 1994. — Декабрь (вып. 15, № 1). — doi:10.1007/BF01277558.
  • W. H. Meeks. The theory of triply-periodic minimal surfaces // Indiana University Math. Journal. — 1990. — Т. 39, вып. 3.
  • Jaemin Shin, Sungki Kim, Darae Jeong, Hyun Geun Lee, Dongsun Lee, Joong Yeon Lim, Junseok Kim. Finite Element Analysis of Schwarz P Surface Pore Geometries for Tissue-Engineered Scaffolds // Mathematical Problems in Engineering. — 2012. — doi:10.1155/2012/694194.
  • Paul J.F. Gandy, Djurdje Cvijović, Alan L. Mackay, Jacek Klinowski. Exact computation of the triply periodic D (`diamond') minimal surface // Chemical Physics Letters. — 1999. — Декабрь (т. 314, вып. 5–6, 10).