Уравнение в функциональных производных

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Уравнение в функциональных производных — обобщение понятия дифференциального уравнения на случай бесконечного множества переменных. Применяется в функциональном анализе и теоретической физике (уравнение Швингера — Томонаги, уравнения Швингера).

Обыкновенное уравнение в функциональных производных получается с помощью предельного перехода к бесконечному множеству переменных из уравнения в полных дифференциалах[1]:

(1),

где: и коэффициенты являются функциями от переменных .

При переходе к пределу в уравнении (1) сумма превратится в интеграл и оно примет вид:

(2),

где: - неизвестный функционал от функции , - переменная интегрирования.

При помощи понятия функциональной производной это уравнение можно записать в виде:

(3),

где: - функциональная производная.

Если семейство функций принадлежит пространству и зависит от числового параметра, то уравнение в функциональных производных превращается в дифференциальное уравнение первого порядка, которое удобно решать методом последовательных приближений[2].

Если функционал зависит не только от функции , но и от одного или нескольких числовых параметров, то уравнение в функциональных производных превращается в интегро-дифференциальное уравнение, для решения которого также можно использовать метод последовательных приближений[3].

Примечания

[править | править код]
  1. Леви, 1967, с. 107-108.
  2. Леви, 1967, с. 108-110.
  3. Леви, 1967, с. 110-112.

Литература

[править | править код]
  • Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. — М.: Наука, 1967. — 509 с.