Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях: если целая функция комплексных переменных ограничена, то есть

то есть константа.

  • Если целая функция в , и для некоторого
то есть многочлен по переменным степени не выше .
то есть гармонический многочлен по переменным.

Это предложение, одно из основных в теории аналитических функций, впервые, по-видимому, было опубликовано в 1844 году Коши для случая . Лиувилль излагал его на лекциях в 1847 году, откуда и произошло название.

Доказательство (для одномерного случая)

[править | править код]

Пусть функция , , ограничена на комплексной плоскости, то есть

Воспользуемся интегральной формулой Коши для производной :

где  — окружность радиуса , содержащая точку , или .

Имеем

Отсюда, в силу того, что интегральная формула Коши справедлива для любого контура, имеем , а значит и, следовательно, является константой. Теорема доказана.

Литература

[править | править код]
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1976.