Спектральная теорема

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Спектральная теорема — класс теорем о матрицах линейных операторов, дающих условия, при которых такие матрицы могут быть диагонализированы, то есть представлены в виде диагональной матрицы в некотором базисе. Эти теоремы позволяют свести вычисления, включающие диагонализируемые матрицы к гораздо более простым вычислениям, использующим соответствующие диагональные матрицы.

Понятие диагонализации, достаточно простое для случая конечномерных векторных пространств, требует некоторых уточнений при переходе к бесконечномерным векторным пространствам. Вообще говоря, спектральная теорема выделяет класс линейных операторов, которые могут моделироваться так называемыми операторами умножения[англ.] — то есть операторами вида для фиксированной функции . Более абстрактно, спектральная теорема является утверждением о коммутативных -алгебрах.

Примерами операторов, к которым может быть применена спектральная теорема являются самосопряжённые операторы или, более общо, — нормальные операторы в гильбертовых пространствах.

Спектральная теорема также даёт каноническое разложение объемлющего векторного пространства, называемое спектральным разложением или разложением по собственным значениям.

Конечномерный случай

[править | править код]

Спектральная теорема для Эрмитовых матриц

[править | править код]

Для любой эрмитовой матрицы на конечномерном векторном пространстве верно[1]:

  1. Все собственные значения матрицы вещественны;
  2. Собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны;
  3. Собственные вектора образуют ортогональный базис для всего пространства .

Спектральная теорема для унитарных матриц

[править | править код]

Для любой унитарной матрицы на конечномерном векторном пространстве верно[1]:

  1. Все собственные значения матрицы имеют абсолютные величины, равные ;
  2. Собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны;
  3. Собственные вектора образуют ортогональный базис для всего пространства .

Нормальные матрицы

[править | править код]

Спектральная теорема может быть распространена на несколько более широкий класс матриц. Пусть является оператором на конечномерном пространстве со скалярным произведением. называют нормальным, если . Можно доказать, что является нормальным тогда и только тогда, когда он является унитарно диагонализируемым. В самом деле, в соответствии с разложением Шура мы имеем , где является унитарным оператором, а  — верхнетреугольным. Поскольку является нормальным, то . Следовательно, является диагональным. Обратное не менее очевидно.

Другими словами, является нормальным тогда и только тогда, когда существует унитарная матрица такая, что , где является диагональной матрицей. При этом диагональные элементы матрицы Λ являются собственными значениями а векторы-столбцы матрицы являются собственными векторами (они, конечно, имеют единичную длину и попарно ортогональны). В отличие от эрмитова случая элементы матрицы не обязательно вещественны.

Спектральная теорема для компактных самосопряжённых операторов

[править | править код]

В бесконечномерных гильбертовых пространствах утверждение спектральной теоремы для компактных самосопряжённых операторов выглядит в сущности также как в конечномерном случае.

Теорема
Пусть является компактным самосопряжённым оператором в гильбертовом пространстве . Существует ортонормированный базис пространства , состоящий из собственных векторов оператора . При этом все собственные значения вещественны.

Так же как и в случае эрмитовых матриц ключевым моментом является доказательство существования хоть одного собственного вектора. В бесконечномерном случае невозможно использовать определители для доказательства существования собственных векторов, но можно использовать соображения максимизации, аналогичные вариационной характеризации собственных значений. Приведённая выше спектральная теорема справедлива как для вещественных, так и для комплексных гильбертовых пространств.

Без предположения о компактности становится неверным утверждение о том, что всякий самосопряжённый оператор имеет собственный вектор.

Спектральная теорема для ограниченных самосопряжённых операторов

[править | править код]

Следующее обобщение, которое мы рассмотрим, касается ограниченных самосопряжённых операторов в гильбертовых пространствах. Такие операторы могут не иметь собственных значений (например, таков оператор умножения на независимую переменную в пространстве , то есть .

Теорема
Пусть является ограниченным самосопряжённым оператором в гильбертовом пространстве . Тогда существует пространство с мерой , вещественнозначная измеримая функция на и унитарный оператор такие, что , где является оператором умножения[англ.], то есть .

С этой теоремы начинается обширная область исследований по функциональному анализу, называемая теорией операторов.

Аналогичная спектральная теорема справедлива для ограниченных нормальных операторов в гильбертовых пространствах. Единственная разница состоит в том, что теперь может быть комплекснозначной.

Альтернативная формулировка спектральной теоремы позволяет записать оператор как интеграл, взятый по спектру оператора, от координатной функции по проекционной мере[англ.]. В случае когда рассматриваемый нормальный оператор является компактным, эта версия спектральной теоремы сводится к приведённой выше конечномерной спектральной теореме (с той оговоркой, что теперь линейная комбинация может содержать бесконечно много проекторов).

Спектральная теорема для общих самосопряжённых операторов

[править | править код]

Многие важные линейные операторы, возникающие в математическом анализе, не являются ограниченными. Например, таковы дифференциальные операторы. Имеется спектральная теорема для самосопряжённых операторов, которая работает для неограниченных операторов. Например, любой дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами унитарно эквивалентен оператору умножения (соответствующим унитарным оператором является преобразование Фурье, а соответствующий оператор умножения называют мультипликатором Фурье[англ.]).

Литература

[править | править код]

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 A. Eremenko. Spectral Theorems for Hermitian and unitary matrices (англ.). Purdue science, Department of Mathematics (26 октября 2017). Дата обращения: 19 февраля 2019. Архивировано 20 февраля 2019 года.