Псевдохарактер

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Псевдохарактер — вещественнозначная функция на группе, в определённом смысле близкая к гомоморфизму.

Понятие псевдохарактера было введено в докладе А. И. Штерна на Ломоносовских чтениях в МГУ в 1983 году[1]. Оно находит применения в комбинаторной теории групп, в теории групп диффеоморфизмов, в теории ограниченных когомологий[англ.], в симплектической геометрии и в теории представлений групп[2].

Определение

[править | править код]

Функция на группе называется квазихарактером[2] (или квазиморфизмом), если существует такая константа , что для любых выполняется неравенство . Или, что то же самое,

.

Квазихарактер называется псевдохарактером, если он обладает свойством однородности: для любых и выполняется

.

Или, иными словами, его ограничение на произвольную циклическую подгруппу является гомоморфизмом.

Вспомогательные определения

[править | править код]

Дефектом квазихарактера называется супремум

.

Дефект равен нулю тогда и только тогда, когда квазихарактер является гомоморфизмом. В этом случае квазихарактер называется характером[3].

Два квазихарактера и называются асимптотически эквивалентными, если следующий супремум конечен:

.

Например, квазихарактер асимптотически эквивалентен нулевому гомоморфизму в том и только в том случае, если он ограничен. Квазиморфизм называется тривиальным, если он асимптотически эквивалентен гомоморфизму.

Пространство псевдохарактеров

[править | править код]

Множество всех квазихарактеров на группе обозначается символом . Оно является подпространством вещественного векторного пространства всех функционалов , рассматриваемых с операциями поточечного сложения и умножения на скаляр. Иными словами, определяющее свойство квазихарактера сохраняется при сложении и умножении на скаляры.

Дефект является полунормой на пространстве [4]. Таким образом, данное пространство является полунормированным.

Множество всех псевдохарактеров на группе является векторным подпространством пространства и обозначается символом . Оно содержит в качестве векторного подпространства группу гомоморфизмов .

Усреднение квазихарактеров

[править | править код]

Каждый квазихарактер можно следующим образом превратить в псевдохарактер. Положим

.

Тогда данный предел всегда существует, а функция является псевдохарактером, дефект которого не превосходит , и выполняется неравенство [5]. Более того, функция является единственным псевдохарактером, асимптотически эквивалентным квазихарактеру [4]. Отображение , ставящее в соответствие квазихарактеру связанный с ним псевдохарактер, линейно, непрерывно (относительно определённой выше полунормы), является проектором и называется усреднением[4]. В частности, если квазихарактер является псевдохарактером, то .

С помощью данного проектора пространство псевдохарактеров возможно отождествить с множеством классов асимптотической эквивалентности квазихарактеров. Или, что то же самое, с факторпространством пространства по подпространству квазихарактеров, асимптотически эквивалентных нулевому квазихарактеру (или, иными словами, по подпространству ограниченных квазихарактеров).

Пространство нетривиальных псевдохарактеров

[править | править код]

Обозначим символами

и

соответственно, факторпространства пространств всех квазихарактеров и всех псевдохарактеров по подпространству всех характеров. Полунорма дефекта индуцирует норму на данные пространства. Полученные нормированные пространства являются банаховыми[6].

Значения произвольного псевдохарактера на сопряженных элементах группы совпадают: для любых . Таким образом, каждый псевдохарактер является функций классов[англ.], то есть задаёт функцию на множестве классов сопряженности группы.

Если элементы коммутируют, то . Таким образом, ограничение любого псевдохарактера на произвольную коммутативную подгруппу является гомоморфизмом. В частности, в случае коммутативных групп понятия псевдохарактера и гомоморфизма совпадают.

Обозначим символом группу сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов вещественной прямой, а символом  — её подгруппу, состоящую из гомеоморфизмов , удовлетворяющих условию для любого , то есть коммутирующих с единичным сдвигом . Число переноса представляет собой псевдохарактер на группе , дефект которого не превосходит единицы[7][8][9].

Символ Радемахера представляет собой квазихарактер на специальной линейной группе . Соответствующий ему псевдохарактер называется псевдохарактером Радемахера[10][11]. Аналогичная конструкция рассматривается на модулярной группе .

Антье Деорнуа представляет собой квазихарактер с единичным дефектом на группе кос . Соответствующий ему псевдохарактер называется закрученностью[12].

Считающие квазихарактеры

[править | править код]

Пусть  — свободная группа с базисом . С каждым приведённым словом следующим образом свяжем пару квазихарактеров на .

Для положим равным количеству вхождений слова в приведённое слово-представителя элемента . Например, при имеем . Далее, положим равным наибольшему значению количества непересекающихся вхождений слова в приведённое слово-представителя элемента . Например, .

Определим и . Функции и являются квазихарактерами на свободной группе и называются, соответственно, большой считающей (от англ. big counting) и малой считающей (от англ. little counting). Большие считающие квазихарактеры были введены Робертом Бруксом[англ.] и иногда называются функциями Брукса, а малые считающие квазихарактеры были введены Дэвидом Эпстейном[англ.] и Кодзи Фудзиварой[порт.][13].

Например, при и имеем , причем квазихарактеры являются гомоморфизмами и порождают группу гомоморфизмов [11].

Дефект большого считающего квазихарактера не превосходит числа , где символ обозначает количество букв в слове . Данная оценка точна, как показывает пример . Однако дефект малого считающего квазихарактера всегда не превосходит трёх. Более того, он равен нулю только если , равен двойке только если имеет вид , или , а иначе равен единице[14].

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Calegari, D. scl (англ.). — Mathematical Society of Japan[англ.], 2009. — Vol. 20. — 209 p. — (MSJ Memoirs). — ISBN 978-4-931469-53-2. — doi:10.1142/e018.