Псевдоголоморфная кривая

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Псевдоголоморфная кривая (или J-голоморфная кривая) — гладкое отображение из Римановой поверхности в почти комплексное многообразие, удовлетворяющее уравнениям Коши — Римана.

Псевдоголоморфные кривые были введены в 1985 году Михаилом Громовым,  с тех пор они произвели революцию в изучении симплектических многообразий. В частности, теорема о симплектическом верблюде была доказана с использованием псевдоголоморфных кривых.

Они также используются в определении инвариантов Громова — Виттена, гомологий Флоера[англ.] и играют важную роль в теории струн.

Определение

[править | править код]

Пусть почти комплексное многообразие с почти комплексной структурой . Пусть гладкая риманова поверхность (также называется комплексной кривой) с комплексной структурой . Псевдоголоморфная кривая в представляет собой отображение , которое удовлетворяет условию

То есть дифференциал   комплексно-линейный.

  • В частности, отображает касательные пространства
на себя.
  • Несмотря на то, что псевдоголоморфные кривые определяются для произвольного почти комплексного многообразия, основные приложения псевдоголоморфных кривых приходятся на симплектические многообразия с совместимой почти комплексной структурой
    • То есть такой, что следующее неравенство выполняется для всех ненулевых касательных векторов
где обозначает симплектическую форму.
  • В частности
определяет Риманову метрику.
  • Для данного , пространство всех совместимых почти комплексных структур непусто и стягиваемо
  • Если псевдокомплексная структура для симплектической формы с ассоциированной римановой метрикой то любая -голоморфная кривая является минимальной поверхностью.
    • Более того, любая -голоморфная кривая минимизирует площадь в своём гомологическом классе и является её калибровочной формой.

Список литературы

[править | править код]
  • Под редакцией Элиашберга Я. и Трейнора Л. Лекции по симплектической геометрии и топологии. — МЦНМО, 2008. — 424 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-130-8.
  • Dusa McDuff and Dietmar Salamon, J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology, American Mathematical Society colloquium publications, 2004. ISBN 0-8218-3485-1.
  • M. Gromov. Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds (англ.) // Inventiones Mathematicae. — 1985. — Vol. 82. — P. 307—347. Архивировано 13 апреля 2018 года.
  • Donaldson, Simon K. What Is...a Pseudoholomorphic Curve? (англ.) // Notices of the American Mathematical Society : journal. — 2005. — October (vol. 52, no. 9). — P. 1026—1027.