Дифференциальное уравнение
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Airflow-Obstructed-Duct.png/330px-Airflow-Obstructed-Duct.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cd/Elmer-pump-heatequation.png/330px-Elmer-pump-heatequation.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Equazione_differenziale.png/330px-Equazione_differenziale.png)
Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, которое помимо функции содержит её производные. Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или отсутствовать вовсе, кроме хотя бы одной производной. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным. Например, не является дифференциальным уравнением[1].
Дифференциальные уравнения являются частным случаем функциональных уравнений. В отличие от алгебраических уравнений, в результате решения которых ищется число (несколько чисел), при решении дифференциальных уравнений ищется функция (семейство функций).
Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного дифференциального уравнения.
Современные быстродействующие ЭВМ эффективно дают численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, не требуя получения его решения в аналитическом виде. Это позволяет некоторым исследователям утверждать, что решение задачи получено, если её удалось свести к решению обыкновенного дифференциального уравнения.
Обобщением понятия дифференциального уравнения на случай бесконечного множества переменных является уравнение в функциональных производных.
Терминология и классификация[править | править код]
Порядок дифференциального уравнения — наивысший порядок входящих в него производных.
Если дифференциальное уравнение является многочленом относительно старшей производной, то степень этого многочлена называется степенью дифференциального уравнения. Так, например, уравнение является уравнением второго порядка, четвёртой степени[2].
Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка называется функция , имеющая на некотором интервале производные до порядка включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Задача об интегрировании дифференциального уравнения считается решённой, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре (то есть к виду , где — элементарная функция), независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде через известные функции или нет.
Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.
В зависимости от комбинаций производных, функций, независимых переменных дифференциальные уравнения подразделяются на линейные и нелинейные, с постоянными или переменными коэффициентами, однородные или неоднородные. В связи с важностью приложений в отдельный класс выделены квазилинейные (линейные относительно старших производных) дифференциальные уравнения в частных производных[3].
Важнейшим вопросом для дифференциальных уравнений является существование и единственность их решения. Разрешение этого вопроса дают теоремы существования и единственности, указывающие необходимые и достаточные для этого условия. Для обыкновенных дифференциальных уравнений такие условия были сформулированы Рудольфом Липшицем (1864). Для уравнений в частных производных соответствующая теорема была доказана Софьей Ковалевской (1874).
Решения дифференциальных уравнений подразделяются на общие и частные решения. Общие решения включают в себя неопределенные постоянные, а для уравнений в частных производных — произвольные функции от независимых переменных, которые могут быть уточнены из дополнительных условий интегрирования (начальных условий для обыкновенных дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий для уравнений в частных производных). После определения вида указанных постоянных и неопределённых функций решения становятся частными.
Поиск решений обыкновенных дифференциальных уравнений привёл к установлению класса специальных функций — часто встречающихся в приложениях функций, не выражающихся через известные элементарные функции. Их свойства были подробно изучены, составлены таблицы значений, определены взаимные связи и так далее.
Развитие теории дифференциальных уравнений позволило в ряде случаев отказаться от требования непрерывности исследуемых функций и ввести обобщённые решения дифференциальных уравнений.
История[править | править код]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/39/GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg/120px-GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg/120px-Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/60/Leonhard_Euler_2.jpg/120px-Leonhard_Euler_2.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Joseph_Louis_Lagrange.jpg/120px-Joseph_Louis_Lagrange.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Pierre-Simon-Laplace_%281749-1827%29.jpg/120px-Pierre-Simon-Laplace_%281749-1827%29.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d3/Joseph_liouville.jpeg/120px-Joseph_liouville.jpeg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/JH_Poincare.jpg/120px-JH_Poincare.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f6/Sofja_Wassiljewna_Kowalewskaja_1.jpg/120px-Sofja_Wassiljewna_Kowalewskaja_1.jpg)
Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых требовалось определить координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени при различных воздействиях. К дифференциальным уравнениям приводили также некоторые рассмотренные в то время геометрические задачи.
Основой теории дифференциальных уравнений стало дифференциальное исчисление, созданное Лейбницем и Ньютоном (1642—1727). Сам термин «дифференциальное уравнение» был предложен в 1676 году Лейбницем.
Из огромного числа работ XVIII века по дифференциальным уравнениям выделяются работы Эйлера (1707—1783) и Лагранжа (1736—1813). В этих работах была прежде развита теория малых колебаний, а следовательно — теория линейных систем дифференциальных уравнений; попутно возникли основные понятия линейной алгебры (собственные числа и векторы в n-мерном случае). Вслед за Ньютоном Лаплас и Лагранж, а позже Гаусс (1777—1855) развивают также методы теории возмущений.
Когда была доказана неразрешимость алгебраических уравнений в радикалах, Жозеф Лиувилль (1809—1882) построил аналогичную теорию для дифференциальных уравнений, установив невозможность решения ряда уравнений (в частности таких классических, как линейные уравнения второго порядка) в элементарных функциях и квадратуре. Позже Софус Ли (1842—1899), анализируя вопрос об интегрировании уравнений в квадратурах, пришёл к необходимости подробно исследовать группы диффеоморфизмов (получившие впоследствии имя групп Ли) — так по теории дифференциальных уравнений возникла одна из самых плодотворных областей современной математики, дальнейшее развитие которой было тесно связано совсем с другими вопросами (алгебры Ли ещё раньше рассматривали Симеон-Дени Пуассон (1781—1840) и, особенно, Карл Густав Якоб Якоби (1804—1851)).
Новый этап развития теории дифференциальных уравнений начинается с работ Анри Пуанкаре (1854—1912), созданная им «качественная теория дифференциальных уравнений» вместе с теорией функций комплексных переменных легла в основу современной топологии. Качественная теория дифференциальных уравнений, или, как теперь её чаще называют, теория динамических систем, сейчас активно развивается и имеет важные применения в естествознании.
Обыкновенные дифференциальные уравнения[править | править код]
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения, зависящие от одной независимой переменной; они имеют вид
- или
где — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной штрих означает дифференцирование по Число называется порядком дифференциального уравнения. Наиболее практически важными являются дифференциальные уравнения первого и второго порядка.
Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка[править | править код]
Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.
Данные ДУ имеют вид:
где функции и определены и непрерывны в некоторой области .
Дифференциальные уравнения в частных производных[править | править код]
Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:
где — независимые переменные, а — функция этих переменных. Порядок уравнений в частных производных может определяется так же, как для обыкновенных дифференциальных уравнений. Ещё одной важной классификацией уравнений в частных производных является их разделение на уравнения эллиптического, параболического и гиперболического типа, в особенности для уравнений второго порядка.
Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения[править | править код]
Как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных можно разделить на линейные и нелинейные. Дифференциальное уравнение является линейным, если неизвестная функция и её производные входят в уравнение только в первой степени (и не перемножаются друг с другом). Для таких уравнений решения образуют аффинное подпространство пространства функций. Теория линейных ДУ развита значительно глубже, чем теория нелинейных уравнений. Общий вид линейного дифференциального уравнения n-го порядка:
где pi(x) — известные функции независимой переменной, называемые коэффициентами уравнения. Функция r(x) в правой части называется свободным членом (единственное слагаемое, не зависящее от неизвестной функции). Важным частным классом линейных уравнений являются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Подклассом линейных уравнений являются однородные дифференциальные уравнения — уравнения, которые не содержат свободного члена: r(x) = 0. Для однородных дифференциальных уравнений выполняется принцип суперпозиции: линейная комбинация частных решений такого уравнения также будет его решением. Все остальные линейные дифференциальные уравнения называются неоднородными дифференциальными уравнениями.
Нелинейные дифференциальные уравнения в общем случае не имеют разработанных методов решения, кроме некоторых частных классов. В некоторых случаях (с применением тех или иных приближений) они могут быть сведены к линейным. Например, нелинейное уравнение математического маятника в случае малых амплитуд, когда sin y ≈ y, может рассматриваться как линейное уравнение гармонического осциллятора
Примеры[править | править код]
- — однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решением является семейство функций , где и — произвольные константы, которые для конкретного решения определяются из задаваемых отдельно начальных условий. Это уравнение, в частности, описывает движение гармонического осциллятора с циклической частотой 3.
- Второй закон Ньютона можно записать в форме дифференциального уравнения где m — масса тела, x — его координата, F(x, t) — сила, действующая на тело с координатой x в момент времени t. Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы.
- Дифференциальное уравнение Бесселя — обыкновенное линейное однородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами: Его решениями являются так называемые цилиндрические функции — функции Бесселя, Неймана, Ганкеля.
- Пример неоднородного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка:
В следующей группе примеров неизвестная функция u зависит от двух переменных x и t или x и y.
- Однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка:
- Одномерное волновое уравнение — однородное линейное уравнение в частных производных гиперболического типа второго порядка с постоянными коэффициентами, описывает колебание струны, если — отклонение струны в точке с координатой x в момент времени t, а параметр a задаёт свойства струны:
- Уравнение Лапласа в двумерном пространстве — однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка эллиптического типа с постоянными коэффициентами, возникающее во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики:
- Уравнение Кортевега — де Фриза, нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных третьего порядка, описывающее стационарные нелинейные волны, в том числе солитоны:
Важнейшие дифференциальные уравнения[править | править код]
Обыкновенные дифференциальные уравнения[править | править код]
- Уравнения в полных дифференциалах
- Второй закон Ньютона (классическая механика)
- Закон радиоактивного распада (ядерная физика)
- Уравнение Ван дер Поля (теория колебаний)
Уравнения в частных производных[править | править код]
- Уравнение Эйлера — Лагранжа (классическая лагранжева механика)
- Уравнения Гамильтона (классическая гамильтонова механика)
- Волновое уравнение
- Уравнения Максвелла (электромагнетизм)
- Уравнение Лапласа
- Уравнение Пуассона
- Уравнение Эйнштейна (общая теория относительности)
- Уравнение Шрёдингера (квантовая механика)
- Уравнение диффузии
- Уравнение теплопроводности (термодинамика)
- Уравнение Кортевега-де Вриза (уединённые волны)
- Уравнения Навье-Стокса (течения вязкой жидкости)
- Уравнение Эйлера (невязкие течения газовых сред)
- Уравнение Линя-Рейсснера-Цяня (трансзвуковые нестационарные течения)
- Уравнения Лямэ (теория упругости)
См. также[править | править код]
- Общее решение дифференциального уравнения
- Частное решение дифференциального уравнения
- Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка
- Особое решение
- Задача Коши
- Однородное дифференциальное уравнение
- Неоднородное дифференциальное уравнение
- Линейное дифференциальное уравнение
- Дифференциальное уравнение Бернулли
- Дифференциальные уравнения Лагранжа и Клеро
- Уравнение Риккати
- Дифференциальное уравнение в частных производных
- Квазидифференциальное уравнение
- Дробно-дифференциальное уравнение
- Интегро-дифференциальные уравнения
- Поле направлений
Программное обеспечение[править | править код]
- ExpressionsinBar
- Maple[4]: dsolve
- SageMath[5]
- Xcas[6]: desolve(y'=k*y, y)
- Wolfram Mathematica: DSolve[expr, func, var], NDSolve[expr, func, var]
Примечания[править | править код]
- ↑ Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1971, стр. 16
- ↑ Алибеков И. Ю. Численные методы, У/П. — МГИУ, 2008. — С. 180. — 221 с. — ISBN 9785276014623.
- ↑ Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. — М.: Наука, 1988. — 686 с.
- ↑ dsolve - Maple Programming Help . www.maplesoft.com. Дата обращения: 12 мая 2020. Архивировано 23 ноября 2013 года.
- ↑ Basic Algebra and Calculus — Sage Tutorial v9.0 . doc.sagemath.org. Дата обращения: 12 мая 2020. Архивировано 14 января 2020 года.
- ↑ [Symbolic algebra and Mathematics with Xcas http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf] .
Литература[править | править код]
Энциклопедии и справочники[править | править код]
- Дифференциальные уравнения // Дебитор — Евкалипт. — М. : Советская энциклопедия, 1972. — (Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 8).
- Дифференциальные уравнения : [арх. 10 ноября 2014] / И. П. Макаров // Математическая энциклопедия : в 5 т. / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М. : Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2: Д’Аламбера оператор — Кооперативная игра. — 552 с. — 1104 стб.
- Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Физматлит, 2001.
- Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. М.: Физматлит, 2003.
- Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. — М.: Наука, 1966.
- Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1976.
- Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. — М.: Физматлит, 2001.
- Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. — М.: Физматлит, 2002.
Учебники[править | править код]
- Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1966.
- Диесперов В. Н. Лекции по дифференциальным уравнениям [текст]: учеб. пос. — М.: МФТИ, 2017. 242 с. ISBN 978-5-7417-0630-5.
- Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1970.
- Полянин А. Д., Зайцев В. Ф., Журов А. И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. — М.: Физматлит, 2005.
- Пономарев К. К. Составление дифференциальных уравнений. — Мн.: Вышейшая школа, 1973.
- Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1974.
- Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972.
- Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. — 4-е изд. — Физматлит, 2005.
- Умнов А. Е., Умнов Е. А. Основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (pdf) (на портале автора)
- Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — Изд. 2-е. — 2007. — 240 с. — ISBN 5354004160.
- Чарльз Генри Эдвардс, Дэвид Э. Пенни. Дифференциальные уравнения и проблема собственных значений: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB = Differential Equations and Boundary Value Problems: Computing and Modeling. — 3-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — ISBN 978-5-8459-1166-7.
- Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969.
Задачники[править | править код]
- Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — 3-е изд. — М.: Высшая школа, 1978.
- Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 1989.
- Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.
Ссылки[править | править код]
- Сайт под редакцией А. Д. Полянина «Мир математических уравнений» — EqWorld
- Русскоязычные ресурсы по дифференциальным уравнениям в Открытом Каталоге.
- Примеры решения дифференциальных уравнений
- Эксперсс-курс по дифференциальным уравнениям: пособие и видео-лекции Р. В. Шамина
- Поле направлений дифференциального уравнения первого порядка — учебный фильм, производство Леннаучфильм.