Гиперболичность в смысле Громова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Гиперболичность в смысле Громова или -гиперболичность — глобальная характеристика метрического пространства, грубо говоря, напоминающая отрицательность кривизны; в частности пространство Лобачевского гиперболично в смысле Громова.

Гиперболичность в смысле Громова в основном применяется в геометрической теории групп. Она даёт удобную геометрическую интерпретацию для групп малого сокращения[англ.].

Определение

[править | править код]

Пространство является -гиперболичным если для любых точек выполнялось

где обозначает произведение Громова:

Последнее неравенество эквивалентно выполнению

для любых точек .

Есть много других определений (иногда отличающихся изменением в несколько раз). Например следующее: если пространство геодезическое, то это условие эквивалентно тому, что для любых точек x, y, z пространства отрезок геодезической [xy] лежит в -окрестности объединения [xz] и [yz]. Иными словами — на кратчайшей [xy] найдётся точка t такая, что [xt] лежит в -окрестности [xz], а [ty] лежит в -окрестности [zy].

  • Гиперболичность является инвариантом квазиизометричных преобразований. Благодаря этому, гиперболичность группы не зависит от выбора системы образующих, использованной для задания словарной метрики.
  • Если пространство содержит изометричную копию , оно не может быть гиперболичным. В частности, декартово произведение почти никогда[прояснить] не может быть гиперболическим.
  • Инъективная оболочка -гиперболического пространства -гиперболическая.[1]
    • В частности, любое -гиперболическое пространство изометрично подмножеству в геодезическом -гиперболическом пространстве.

Примечания

[править | править код]
  1. Lang, Urs; Pavón, Maël; Züst, Roger. Metric stability of trees and tight spans (англ.) // Arch. Math. (Basel). — 2013. — Vol. 101, no. 1. — P. 91–100.
  • Mikhail Gromov, Hyperbolic groups. Essays in group theory, 75—263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.