SFLASH

SFLASH — асимметричный алгоритм цифровой подписи рекомендованный проектом NESSIE European в 2003 году. SFLASH основан на Matsumoto-Imai(MI) схеме, так же называемой C*. Алгоритм принадлежит к семейству многомерных схем с открытым ключом, то есть каждая подпись и каждый хеш сообщения представлен элементами конечного поля K. SFLASH был разработан для очень специфичных приложений, где затраты на классические алгоритмы (RSA, Elliptic Curves, DSA и другие) становятся чрезвычайно высокими: они очень медленные и имеют большой размер подписи. Таким образом SFLASH был создан, чтобы удовлетворять потребностям дешевых смарт-карт.

SFLASH гораздо быстрее и проще, чем RSA, как и в создании, так и в проверке (верификации) подписи.

Введение

Во всей статье будут использоваться следующие обозначения:

1. $\|$ — определяет оператор конкатенации.
2. $[\lambda ]_{r\rightarrow s}$ — оператор, который определяется следующим образом: $[\lambda ]_{r\rightarrow s}=(\lambda _{r},\lambda _{r+1},...,\lambda _{s-1},\lambda _{s})$, где $\lambda =(\lambda _{1},...,\lambda _{m})$, а целые числа r и s должны удовлетворять: $0\leq r\leq s\leq m$.

Параметры алгоритма

Алгоритм SFLASH использует два определенных поля:

1. $K=F_{128}$ определяется как $K=F_{2}[X]/(X^{7}+X+1)$. Определим $\pi$ как биекцию между $\{0,1\}^{7}$ и K как: $\forall b=(b_{0},...,b_{6})\in \{0,1\}^{7},\pi (b)=(b_{6}X^{6}+...+b_{1}X+b_{0})\mod X^{7}+X+1$
2. $\Phi =K[X]/(x^{67}+X^{5}+X^{2}+X+1)$. Определим $\varphi$ как биекцию между $K^{67}$ и $\Phi$ как: $\forall \omega =(\omega _{0},...,\omega _{66})\in K^{67},\varphi (\omega )=(\omega _{66}X^{66}+...+\omega _{1}X+\omega _{0})\mod X^{67}+X^{5}+X^{2}+X+1$
3. $\Delta$ — 80 битная скрытая строка.

Так же алгоритм SFLASH использует две афинные биекции s и t из $K^{67}$ в $K^{67}$. Каждое из которых составляет скрытые линейные $S_{L},T_{L}$ (матрицы 67*67) и постоянные $S_{C},T_{C}$(столбец 67*1) соответственно.

Открытые параметры

Открытый ключ заключается в функции G из $K^{67}$ в $K^{56}$ определенную как: $G(X)=[t(\varphi ^{-1}(F(\varphi (s(X)))))]_{0\rightarrow 391}$

F — это функция из $\Phi$ в $\Phi$ определенная как $\forall A\in \Phi ,F(A)=A^{128^{33}+1}$

Формирование ключа

Обозначим next_7bit_random_string строку из 7 бит, которая формируется путём вызова CSPRBG(Cryptographically Secure PseudoRandom Bit Generator) 7 раз. Сначала мы получаем первый бит строки, потом второй и так до седьмого.

1)Генерируем $S_{L}$

Для генерации инвертированной 67x67 матрицы $S_{L}$ могут быть использованы два метода:

• Будем заполнять матрицу по одному элементу до тех пор, пока не заполним всю матрицу:

for i=0 to 66 
    for j=0 to 66 
        S_L[i,j]=pi(next_7bit_random_string)

• Используем LU-разложение, где $L_{S}$ — нижняя треугольная матрица 67x67, а $U_{S}$ — верхняя треугольная матрица 67x67. После нахождения матриц $L_{S}$ и $U_{S}$, определяем $S_{L}=L_{S}\times U_{S}.$ :

for i=0 to 66
    for j=0 to 66
    {
        if (i<j) then
                 {U_S[i,j]=pi(next_7bit_random_string); L_S[i,j]=0;};
        if (i>j) then
                 {L_S[i,j]=pi(next_7bit_random_string); U_S[i,j]=0;};
        if (i=j) then
                 {repeat (z=next_7bit_random_string)
                         until z!=(0,0,0,0,0,0,0);
                 U_S[i,j]=pi(z);
                 L_S[i,j]=1;};
    };

2)Генерируем $S_{C}$

Используем CSPRBG для нахождения новых 67 элементов K(от верхней к нижней части столбца матрицы). Каждый элемент K находится с помощью функции:

$\pi$(next_7bit_random_string)

3)Генерируем $T_{L}$

Аналогично как и матрицу $S_{L}$.

4)Генерируем $T_{C}$

Аналогично как и столбец $S_{C}$.

5)Генерируем $\Delta$

С помощью CSPRBG(Cryptographically Secure PseudoRandom Bit Generator) генерируем 80 случайных бит.

Создание подписи

Пусть M — это наше сообщение, для которого мы хотим найти подпись S. Создание подписи S имеет следующий алгоритм:

Схема генерации подписи в алгоритме SFLASH

1) Пусть $M_{0},M_{1},M_{2},M_{3}$ — это строки определяющиеся с помощью алгоритма криптографического хеширования SHA-1:

$M_{0}=SHA-1(M)$,

$M_{1}=SHA-1(M_{0}\|0x00)$,

$M_{2}=SHA-1(M_{0}\|0x01)$,

$M_{3}=SHA-1(M_{0}\|0x02)$,

2) Найдем V — 392 битную строку как:

$V=[M_{1}]_{0\rightarrow 159}\|[M_{2}]_{0\rightarrow 159}\|[M_{3}]_{0\rightarrow 71}$

3) Найдем W — 77 битную строку как:

$W=[SHA-1(V\|\Delta )]_{0\rightarrow 76}$

4) Найдем Y — строку из 56 элементов K как:

$Y=(\pi ([V]_{0\rightarrow 6}),\pi ([V]_{7\rightarrow 13}),...,\pi ([V]_{385\rightarrow 391}))$

5) Найдем R — строку из 11 элементов K как:

$R=(\pi ([W]_{0\rightarrow 6}),\pi ([W]_{7\rightarrow 13}),...,\pi ([W]_{70\rightarrow 76}))$

6) Найдем B — элемент $\Phi$ как:

$B=\varphi (t^{-1}(Y\|R))$

7) Найдем A — элемент $\Phi$ как:

$A=F^{-1}(B)$, где F — функция из $\Phi$ в $\Phi$ определенная как: $\forall A\in \Phi ,F(A)=A^{128^{33}+1}$

8) Найдем $X=(X_{0},...,X_{66})$ — строка 67 элементов K:

$X=(X_{0},...,X_{66})=s^{-1}(\varphi ^{-1}(A))$

9) Подпись S — 469 битная строка полученная как:

$S=\pi ^{-1}(X_{0})\|...\|\pi ^{-1}(X_{66})$

Проверка (верификация) подписи

Даны сообщение M (строка бит) и подпись S (256-битовая строка). Следующий алгоритм используется для определения валидности подписи S сообщения M:

Схема проверки(верификации) подписи в алгоритме SFLASH

1) Пусть $M_{0},M_{1},M_{2},M_{3}$ — это строки определяющиеся с помощью алгоритма криптографического хеширования SHA-1:

$M_{0}=SHA-1(M)$,

$M_{1}=SHA-1(M_{0}\|0x00)$,

$M_{2}=SHA-1(M_{0}\|0x01)$,

$M_{3}=SHA-1(M_{0}\|0x02)$,

2) Найдем V — 392 битную строку как:

$V=[M_{1}]_{0\rightarrow 159}\|[M_{2}]_{0\rightarrow 159}\|[M_{3}]_{0\rightarrow 71}$

3) Найдем Y — строку из 56 элементов K как:

$Y=(\pi ([V]_{0\rightarrow 6}),\pi ([V]_{7\rightarrow 13}),...,\pi ([V]_{385\rightarrow 391}))$

4) Найдем Y' — строку из 56 элементов K как:

$Y'=G(\pi ([S]_{0\rightarrow 6}),\pi ([S]_{7\rightarrow 13}),...,\pi ([S]_{385\rightarrow 391}))$

5) Сравниваем получившиеся строки Y и Y'. Если они равны, то подпись принимается, в противном случае — отклоняется.

Литература

• «Nicolas T.Courtois, Louis Goubin and Jacques Patarin. SFLASHv3, a fast asymmetric signature scheme, 2003» Архивная копия от 13 июля 2007 на Wayback Machine, Спецификация алгоритма от разработчиков
• «Vivien Dubois, Pierre-Alain Fouque, Adi Shamir and Jacques Stern, Practical Cryptanalysis of SFLASH» Архивная копия от 7 июня 2011 на Wayback Machine, описание действующих атак на SFLASH

Ссылки

• Многомерная криптография (Multivariate cryptography)