Экспоненциальное отображение

Пробраз поверхности Земли при экспоненциальном отображении к северному плюсу.

Экспоненциальное отображение — обобщение экспоненциальной функции в римановой геометрии.

Для риманова многообразия $M$ экспоненциальное отображение действует из касательного расслоения $TM$ в само многообразие $M$.

Экспоненциальное отображение обычно обозначается $\exp \colon TM\to M$, а его сужение на касательное пространство $T_{p}M$ в точке $p\in M$ обозначается $\exp _{p}\colon T_{p}M\to M$ и называется экспоненциальным отображением в точке $p$.

Определение

Пусть $M$ — риманово многообразие и $p\in M$. Для каждого вектора $v\in T_{p}M$ существует единственная геодезическая $\gamma _{v}(t)$, выходящая из точки $p$ (то есть $\gamma _{v}(0)=p$), такая что $\gamma _{v}'(0)=v$.

Экспоненциальное отображение вектора $v$ есть точка $\gamma _{v}(1)\in M$, или $\exp v=\gamma _{v}(1)$.

Свойства

• $\exp _{p}(0)=p$.

• Для каждой точки $p\in M$ существует такое число $\varepsilon >0$, что экспоненциальное отображение $\exp _{p}$ определено для всех векторов $v\in T_{p}M$, удовлетворяющих условию $|v|\leq \varepsilon$.
  • Более того, $\exp _{p}$ является диффеоморфизмом некоторой окрестности нуля в касательном пространстве $T_{p}M$ в некоторую окрестность точки $p$ многообразия $M$. Таким образом, в некоторой окрестности точки $p$ многообразия $M$ определено обратное экспоненциальное отображение (называемое логарифмом и обозначаемое $\log _{p}$), действующее в некоторую окрестность нуля касательного пространства $T_{p}M$.

• В метрически полном римановом многообразии экспоненциальное отображение определено для любого касательного вектора (Теорема Хопфа — Ринова).

• Дифференциал экспоненциального отображения в любой точке $p$ является тождественным линейным оператором. То есть

  $(d_{p}\exp _{p})(v)=v$

для любого $v\in T_{p}M$. Здесь мы отождествляем пространство, касательное к $T_{p}M$, с ним самим.

• (Лемма Гаусса о геодезических) Для любых $x,v\in T_{p}$

  $g((d_{x}\exp _{p})(v),(d_{x}\exp _{p})(x))=\langle v,x\rangle ,$

где $d_{x}\exp _{p}\colon T_{p}=T_{x}T_{p}\to T_{\exp _{p}x}$ обозначает дифференциал экспоненциального отображения.

• Для групп Ли с би-инвариантной метрикой экспоненциальное отображение совпадает с обычной теоретико-групповой экспонентой.

Ссылки

• А. В. Чернавский. Лекции по классической дифференциальной геометрии (ГЛАВА 10)

Литература

• Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. Современная геометрия. — Любое издание.
• А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Любое издание.
• М. М. Постников. Вариационная теория геодезических. — Любое издание.