Частичная геометрия

Пусть имеется структура инцидентности $C=(P,L,I)$, состоящая из точек $P$, прямых $L$ и флагов $I\subseteq P\times L$. Говорят, что точка $p$ инцидентна прямой $l$, если $(p,l)\in I$. Структура называется конечной частичной геометрией, если существуют целые числа $s,t,\alpha \geq 1$, такие, что:

• Для любой пары различных точек $p$ и $q$ существует максимум одна прямая, инцидентная обеим точкам.
• Каждая прямая инцидентна $s+1$ точкам.
• Каждая точка инцидентна $t+1$ прямым.
• Если точка $p$ и прямая $l$ не инцидентны, существует в точности $\alpha$ пар $(q,m)\in I$, таких, что $p$ инцидентна $m$, а $q$ инцидентна $l$.

Частичная геометрия с этими параметрами обозначается $pg(s,t,\alpha )$.

Свойства

• Число точек задаётся формулой ${\frac {(s+1)(st+\alpha )}{\alpha }}$, а число прямых — формулой ${\frac {(t+1)(st+\alpha )}{\alpha }}$.
• Точечный граф структуры $pg(s,t,\alpha )$ является сильно регулярным графом: $srg((s+1){\frac {(st+\alpha )}{\alpha }},s(t+1),s-1+t(\alpha -1),\alpha (t+1))$.
• Частичные геометрии двойственны — двойственной структурой для $pg(s,t,\alpha )$ является просто структура $pg(t,s,\alpha )$.

Частные случаи

• Обобщённые четырёхугольники — это в точности частичные геометрии $pg(s,t,\alpha )$ с $\alpha =1$.
• Системы Штейнера — это в точности частичные геометрии $pg(s,t,\alpha )$ с $\alpha =s+1$.

Обобщения

Частично линейное пространство $S=(P,L,I)$ порядка $s,t$ называется получастичной геометрией, если существуют целые числа $\alpha \geq 1,\mu$, такие, что:

• Если точка $p$ и прямая $\ell$ не инцидентны, существует либо $0$, либо в точности $\alpha$ пар $(q,m)\in I$, таких, что $p$ инцидентна $m$ и $q$ инцидентна $\ell$.
• Любая пара неколлинеарных точек имеет в точности $\mu$ общих соседей.

Получастичная геометрия является частичной геометрией тогда и только тогда, когда $\mu =\alpha (t+1)$.

Легко показать, что граф коллинеарности такой геометрии строго регулярен с параметрами $(1+s(t+1)+s(t+1)t(s-\alpha +1)/\mu ,s(t+1),s-1+t(\alpha -1),\mu )$.

Хороший пример такой геометрии получается, если взять аффинные точки $PG(3,q^{2})$ и только те прямые, которые пересекают плоскость на бесконечности в точке фиксированной подплоскости Бэра. Геометрия имеет параметры $(s,t,\alpha ,\mu )=(q^{2}-1,q^{2}+q,q,q(q+1))$.