В математике n -й центральный биномиальный коэффициент определяется следующим выражением в терминах биномиальных коэффициентов
(
2
n
n
)
=
(
2
n
)
!
(
n
!
)
2
{\displaystyle {2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}}
для всех
n
≥
0
{\displaystyle n\geq 0}
.
Они получили своё название в связи с тем, что они находятся в точности посередине чётных рядов в треугольнике Паскаля . Первые несколько центральных биномиальных коэффициентов выписаны ниже, начиная с n = 0:
1 , 2 , 6 , 20 , 70 , 252, 924, 3432, 12870, 48620, … последовательность A000984 в OEIS
Производящая функция :
1
1
−
4
x
=
1
+
2
x
+
6
x
2
+
20
x
3
+
70
x
4
+
252
x
5
+
⋯
.
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+\cdots .}
По формуле Стирлинга получаем:
(
2
n
n
)
∼
4
n
π
n
{\displaystyle {2n \choose n}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}}
при
n
→
∞
{\displaystyle n\rightarrow \infty }
.
Полезные ограничения:
4
n
4
n
≤
(
2
n
n
)
≤
4
n
3
n
+
1
{\displaystyle {\frac {4^{n}}{\sqrt {4n}}}\leq {2n \choose n}\leq {\frac {4^{n}}{\sqrt {3n+1}}}}
для каждого
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
Если нужна большая точность:
(
2
n
n
)
=
4
n
π
n
(
1
−
c
n
n
)
{\displaystyle {2n \choose n}={\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\left(1-{\frac {c_{n}}{n}}\right)}
где
1
9
<
c
n
<
1
8
{\displaystyle {\frac {1}{9}}<c_{n}<{\frac {1}{8}}}
для всех
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
.
С этим понятием тесно связаны т. н. числа Каталана , C n . Их формула:
C
n
=
1
n
+
1
(
2
n
n
)
=
(
2
n
n
)
−
(
2
n
n
+
1
)
{\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}}
для каждого
n
≥
0
{\displaystyle n\geq 0}
.
Обобщением центральных биномиальных коэффициентов можно считать числа
Γ
(
2
n
+
1
)
Γ
(
n
+
1
)
2
=
1
n
B
(
n
+
1
,
n
)
{\displaystyle {\frac {\Gamma (2n+1)}{\Gamma (n+1)^{2}}}={\frac {1}{n\mathrm {B} (n+1,n)}}}
, для всех действительных n, при которых выражение определено, где
Γ
(
x
)
{\displaystyle \Gamma (x)}
— это Гамма-функция , а
B
(
x
,
y
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)}
это Бета-функция .