Хеммингова сфера

Сферы Хемминга для двоичного двумерного векторного пространства с центрами в различных точках (отмечены чёрным). Сферам принадлежат точки, отмеченные чёрным и зелёным. Точки, отмеченные белым не принадлежат сферам. В каждом из примеров сферам принадлежит ровно три точки (вектора).

Хеммингова сфера $S_{t}\left({\vec {v}}\right)$ радиуса $t$ c центром в точке ${\vec {v}}$ — множество всех векторов (точек) в двоичном векторном пространстве $V_{2}$ на расстоянии не более $t$ от заданного вектора ${\vec {v}}$:

$S_{t}\left({\vec {v}}\right)=\left\{{\vec {x}}\in C|d_{H}\left({\vec {x}},{\vec {v}}\right)\leq t\right\}$

Если размерность двоичного векторного пространства $V_{2}$ равна $n$, то количество точек (векторов), принадлежащих сфере $S_{t}\left({\vec {v}}\right)$ равно:

$\left|{S_{t}\left({\vec {v}}\right)}\right|=\sum \limits _{i=0}^{t}{\binom {n}{i}}$

Литература

• Морелос-Сарагоса Р. 1.1.2. Хеммингово расстояние, Хемминговы сферы и корректирующая способность // Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы, алгоритмы, применение / пер. с англ. В. Б. Афанасьева. — М.: Техносфера, 2006. — С. 20—23. — (Мир связи). — 2000 экз. — ISBN 5-94836-035-0.