Функция Лиувилля

В теории чисел, функция Лиувилля $\lambda (n)$ — мультипликативная арифметическая функция, равная +1, если число является произведением чётного числа простых чисел, и −1 в противном случае.

Точнее, пусть $n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}$ — факторизация числа, $p_{1}<\ldots <p_{k}$ — простые числа, $a_{j}$ — натуральные числа. Тогда

$\lambda (n)=(-1)^{a_{1}+\ldots +a_{k}}$ (последовательность A008836 в OEIS).

Функция Лиувилля тесно связана с функцией Мёбиуса $\mu (n)$. Если $n=a^{2}b$, где $b$ — число, свободное от квадратов, то

$\lambda (n)=\mu (b).$

Сумма функции по всем делителям $n$ является характеристической функцией множества точных квадратов:

$\sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1&n=k^{2},\;k\in \mathbb {N} \\0&{\sqrt {n}}\notin \mathbb {N} .\end{cases}}$

Применение формулы обращения Мёбиуса даёт нам отсюда

$\lambda (n)=\sum _{d^{2}|n}\mu \left({\frac {n}{d^{2}}}\right).$

Абсолютная величина функции Мёбиуса является функцией, обратной к $\lambda (n)$ относительно свёртки Дирихле.

Ряды

Ряд Дирихле функции Лиувилля выражается через дзета-функцию Римана как

${\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.$

Кроме того,

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)\ln n}{n}}=-\zeta (2)=-{\frac {\pi ^{2}}{6}}.$

Ряд Ламберта функции имеет вид

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right),$

где $\vartheta _{3}(q)$ — тета-функция Якоби.

Литература

• Pólya, G. (1919). "Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 28: 31—40.
• Haselgrove, C. Brian (1958). "A disproof of a conjecture of Pólya". Mathematika. 5 (2): 141—145. doi:10.1112/S0025579300001480. ISSN 0025-5793. MR 0104638. Zbl 0085.27102.
• Lehman, R. (1960). "On Liouville's function". Mathematics of Computation. 14 (72): 311—320. doi:10.1090/S0025-5718-1960-0120198-5. MR 0120198.
• Tanaka, Minoru (1980). "A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function". Tokyo Journal of Mathematics. 3 (1): 187—189. doi:10.3836/tjm/1270216093. MR 0584557.
• Weisstein, Eric W. Liouville Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• A.F. Lavrik (2001), "Liouville function", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4