Формула коплощади

Формула коплощади — интегральная формула, связывающая интеграл по области и интеграл по поверхностям уровней данной функции или отображения. Принцип Кавальери является частным случаем формулы коплощади.

Для справедливости формулы коплощади функция и её область определения должны удовлетворять некоторым свойствам. Наиболее простой случай — гладкая функция, заданная на открытой области $\mathbb {R} ^{n}$. Также она верна для липшицевых и соболевских функций.

Формулировка

Пусть $\Omega$ есть область в $\mathbb {R} ^{n}$ и $u\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{k}$ — липшицево отображение. Тогда формула коплощади имеет вид

$\int \limits _{\Omega }g(x)\cdot |\wedge ^{k}d_{x}u|\cdot dx=\int \limits _{\mathbb {R} ^{k}}dt\cdot \left(\int \limits _{u^{-1}(t)}g(x)\cdot dH_{n-k}\right),$

где $\wedge ^{k}d_{x}u$ обозначает внешнее произведение $k$ копий дифференциала $d_{x}u$, а $H_{n-k}$ — $(n-k)$-мерная хаусдорфова мера.

Частные случаи

• Для вещественнозначной функции $u$, формула коплощади имеет вид

  $\int \limits _{\Omega }g(x)\cdot |\nabla u(x)|\cdot dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }dt\cdot \left(\int \limits _{u^{-1}(t)}g(x)\cdot dH_{n-1}\right),$

где $\nabla u$ — градиент $u$.

• В случае $n=k$, мера Хаусдорфа $H_{n-k}=H_{0}$ есть считающая мера, а $\wedge ^{k}d_{x}u$ есть якобиан $u$ в $x$. Поэтому формулу можно переписать следующим образом

  $\int \limits _{\Omega }g(x)\cdot |{\tfrac {\partial u}{\partial x}}|\cdot dx=\int \limits _{\mathbb {R} ^{k}}dt\cdot \left(\sum \limits _{x\in u^{-1}(t)}g(x)\right).$

Данная формула также называется формулой площади.

Литература

• Федерер Г. Геометрическая теория меры. — 1987. — 760 с.