Устойчивое распределение
(перенаправлено с «Формула Леви — Хинчина для устойчивого распределения»)
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 5 декабря 2015 года; проверки требуют 4 правки.
Усто́йчивое распределе́ние в теории вероятностей — это такое распределение, которое может быть получено как предел по распределению сумм независимых случайных величин.
Определение[править | править код]
Функция распределения называется устойчивой, если для любых действительных чисел найдутся числа такие, что имеет место равенство: , где * - операция свёртки. Если является характеристической функцией устойчивого распределения, то для любых найдутся числа такие, что .[1]
Замечания[править | править код]
- Если — функция устойчивого распределения, то , такие что
- ,
где обозначает свёртку.
- Если — характеристическая функция устойчивого распределения, то , такие что
- .
Свойства устойчивых распределений[править | править код]
- Пусть — независимые одинаково распределённые случайные величины и , где — некоторые нормирующие и центрирующие константы. Если — функция распределения случайных величин , то предельными распределениями для при могут быть лишь устойчивые распределения. Верно обратное: для любого устойчивого распределения существует такая последовательность случайных величин , что сходится к при .[1]
- (Представление Леви — Хинчина) Логарифм характеристической функции случайной величины с устойчивым распределением имеет вид:
где и
См. также[править | править код]
Примечания[править | править код]
- ↑ 1 2 Королюк, 1985, с. 141.
Литература[править | править код]
- Королюк В.С., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Наука, 1985. — 640 с.