Мультиномиа́льное (полиномиа́льное) распределе́ние в теории вероятностей — это обобщение биномиального распределения на случай n>1 независимых испытаний случайного эксперимента с k>2 возможными исходами.
Пусть
X
1
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}
— независимые одинаково распределённые случайные величины , такие, что их распределение задаётся функцией вероятности [1] :
P
(
X
i
=
j
)
=
p
j
,
j
=
1
,
…
,
k
{\displaystyle \mathbb {P} (X_{i}=j)=p_{j},\;j=1,\ldots ,k}
.
Интуитивно событие
{
X
i
=
j
}
{\displaystyle \{X_{i}=j\}}
означает, что испытание с номером
i
{\displaystyle i}
привело к исходу
j
{\displaystyle j}
. Пусть случайная величина
Y
j
{\displaystyle Y_{j}}
равна количеству испытаний, приведших к исходу
j
{\displaystyle j}
:
Y
j
=
∑
i
=
1
n
1
{
X
i
=
j
}
,
j
=
1
,
…
,
k
{\displaystyle Y_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{X_{i}=j\}},\;j=1,\ldots ,k}
.
Тогда распределение вектора
Y
=
(
Y
1
,
…
,
Y
k
)
⊤
{\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{k})^{\top }}
имеет функцию вероятности
p
Y
(
y
)
=
{
(
n
y
1
…
y
k
)
p
1
y
1
…
p
k
y
k
,
∑
j
=
1
k
y
j
=
n
0
,
∑
j
=
1
k
y
j
≠
n
,
y
=
(
y
1
,
…
,
y
k
)
⊤
∈
N
1
k
{\displaystyle p_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )=\left\{{\begin{matrix}{n \choose {y_{1}\ldots y_{k}}}p_{1}^{y_{1}}\ldots p_{k}^{y_{k}},&\sum \limits _{j=1}^{k}y_{j}=n\\0,&\sum \limits _{j=1}^{k}y_{j}\not =n\end{matrix}}\right.,\quad \mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{k})^{\top }\in \mathbb {N} _{1}^{k}}
,
где
(
n
y
1
…
y
k
)
≡
n
!
y
1
!
…
y
k
!
{\displaystyle {n \choose {y_{1}\ldots y_{k}}}\equiv {\frac {n!}{y_{1}!\ldots y_{k}!}}}
— мультиномиальный коэффициент .
Вектор средних и матрица ковариации [ править | править код ]
Математическое ожидание случайной величины
Y
j
{\displaystyle Y_{j}}
имеет вид[1] :
E
[
Y
j
]
=
n
p
j
{\displaystyle \mathbb {E} [Y_{j}]=np_{j}}
.
Диагональные элементы матрицы ковариации
Σ
=
(
σ
i
j
)
{\displaystyle \Sigma =(\sigma _{ij})}
являются дисперсиями биномиальных случайных величин , а следовательно
σ
j
j
=
D
[
Y
j
]
=
n
p
j
(
1
−
p
j
)
,
j
=
1
,
…
,
k
{\displaystyle \sigma _{jj}=\mathrm {D} [Y_{j}]=np_{j}(1-p_{j}),\;j=1,\ldots ,k}
.
Для остальных элементов имеем
σ
i
j
=
c
o
v
(
Y
i
,
Y
j
)
=
−
n
p
i
p
j
,
i
≠
j
{\displaystyle \sigma _{ij}=\mathrm {cov} (Y_{i},Y_{j})=-np_{i}p_{j},\;i\not =j}
.
Ранг матрицы ковариации мультиномиального распределения равен
k
−
1
{\displaystyle k-1}
.
М. де Гроот [англ.] . Оптимальные статистические решения = Optimal Statistical Decisions. — М. : Мир, 1974. — 492 с.
Ссылки на внешние ресурсы
Словари и энциклопедии В библиографических каталогах
Дискретные Абсолютно непрерывные