Формализм GENERIC

Формализм GENERIC (подход GENERIC, формулировка GENERIC) — гамильтонова формулировка неравновесной термодинамики, предложенная в окончательном своем виде Грмелой (Grmela) и Оттингером (Öttinger) в 1997. Название метода является акронимом от англ. General Equation for Non-Equilibrium Reversible-Irreversible Coupling — общее уравнение для неравновесной обратимой и необратимой связи.

Суть подхода

В основе данного подхода лежит предположение, что уравнения эволюции системы могут быть представлены следующим выражением (собственно GENERIC):

${\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}=\mathbf {L} \cdot {\frac {\delta E}{\delta {\boldsymbol {x}}}}+\mathbf {M} \cdot {\frac {\delta S}{\delta {\boldsymbol {x}}}},$

здесь:

• ${\boldsymbol {x}}$ — набор независимы переменных, описывающий систему. Вектор ${\boldsymbol {x}}$ может содержать величины, непрерывно зависящие от индекса (например, гидродинамические поля).
• $E$ и $S$ — полные энергия и энтропия системы, выраженные через ${\boldsymbol {x}}$. Являются простым функциями или выражаются функционалами в случае, если какие-то переменные ${\boldsymbol {x}}$ являются полями.
• $\mathbf {L}$ и $\mathbf {M}$ — линейные функциональные операторы, выражающие, соответственно, обратимую и необратимую части эволюции.
• ${\frac {\delta }{\delta {\boldsymbol {x}}}}$ обозначает функциональную производную. В отсутствие нелокальных эффектов сводится к обычной частной производной.

Вышеприведенное уравнение дополняется следующими условиями вырожденности:

$\mathbf {L} \cdot {\frac {\delta S}{\delta {\boldsymbol {x}}}}=0,\;\;\;\;\mathbf {M} \cdot {\frac {\delta E}{\delta {\boldsymbol {x}}}}=0,$

Первое из них соответствует тому, что функциональная форма энтропии не может внести свой вклад в обратимую составляющую эволюции. Второе условие выражает тот факт, что полная энергия не зависит от необратимой составляющей динамики.

Остановимся на свойствах матриц $\mathbf {L}$ и $\mathbf {M}$. Этим матрицам сопоставляются следующие скобки:

$\left\{A,B\right\}=\left\langle {\frac {\delta A}{\delta {\boldsymbol {x}}}},\mathbf {L} \cdot {\frac {\delta B}{\delta {\boldsymbol {x}}}}\right\rangle ,$

$\left[A,B\right]=\left\langle {\frac {\delta A}{\delta {\boldsymbol {x}}}},\mathbf {M} \cdot {\frac {\delta B}{\delta {\boldsymbol {x}}}}\right\rangle ,$

первые из которых представляет собой скобки Пуассона из классической механики, а скобки $[\,{,}\,]$ предназначены для описания диссипативных процессов. $\left\langle \,{,}\,\right\rangle$ обозначает скалярное произведение. С помощью этих скобок эволюция произвольной функции $A({\boldsymbol {x}})$ запишется как:

${\frac {dA}{dt}}=\left\{A,E\right\}+\left[A,S\right].$

Также из свойств вышеозначенных скобок следует, что оператор $\mathbf {L}$ антисимметричен ($\mathbf {L} ({\boldsymbol {x}})=-\mathbf {L} ^{T}({\boldsymbol {x}})$). $\mathbf {M}$ — симметричен ($\mathbf {M} ({\boldsymbol {x}})=\mathbf {M} ^{T}({\boldsymbol {x}})$), при условии, что все переменные ${\boldsymbol {x}}$ имеют одинаковую четность по отношению к обращению времени. $\mathbf {M}$ является положительно-определенным оператором ($\forall \,{\boldsymbol {y}}\!:{\boldsymbol {y}}\cdot \mathbf {M} ({\boldsymbol {x}})\cdot {\boldsymbol {y}}\geqslant 0$).

Перечисленные свойства и условия выродженности обеспечивают выполнение первого и второго начала термодинамики.

Литература

• Жоу Д., Касас-Баскес Х., Лебон Дж. Расширенная необратимая термодинамика. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных исследований, 2006. — 528 с.