Факторно делимая абелева группа

Факторно делимая абелева группа (англ. quotient divisible abelian group) — абелева группа $A$, которая не содержит подгрупп вида $\mathbb {Z} _{p^{\infty }}$, но содержит свободную подгруппу $F$ конечного ранга, такую что $A/F$ — делимая периодическая группа.

Всякий базис свободной группы $F$ называется базисом факторно делимой группы $A$.

Примеры

• Любая свободная абелева группа конечного ранга (то есть группа вида $\bigoplus \limits _{m}\mathbb {Z}$) и любая делимая абелева группа без кручения конечного ранга (то есть группа вида $\bigoplus \limits _{m}\mathbb {Q}$) являются факторно делимыми.
• Группа вида $\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Z} _{m}$ является факторно делимой.
• Абелева группа без кручения $A$ ранга 1 является факторно делимой тогда и только тогда, когда $A$ имеет идемпотентный тип.

История

Впервые факторно делимые группы были введены Бомоном и Пирсом в 1961 году в классе абелевых групп без кручения. В 1998 году Уиклесс и Фомин обобщили это понятие на случай смешанных абелевых групп.

Они доказали, что категория факторно делимых групп с квазигогоморфизмами в качестве морфизмов двойственна категории абелевых групп без кручения конечного ранга с квазигогоморфизмами в качестве морфизмов.

Факторно делимые группы ранга 1

Пусть $p$ — произвольное простое число. Число $m$ называется $p$-ковысотой элемента $a$ абелевой группы $A$, если $m$ — наименьшее целое неотрицательное число, такое что $p^{m}a$ делится в группе $A$ на любую натуральную степень числа $p$. Если такого числа $m$ не существует, то говорят, что элемент $a$ имеет бесконечную $p$-ковысоту.

Последовательность $p$-ковысот $(k_{p})$ элемента $a\in A$, занумерованную простыми индексами, называется кохарактеристикой элемента $a$ и обозначается $cochar(a)$.

Пусть $A$ — факторно делимая группа ранга 1 и $a$ — некоторый ее базисный элемент, то есть $A/\langle a\rangle$ — делимая периодическая группа. Тогда

• $cochar(a)\leqslant cochar(b)$ для любого элемента $b\in A$;
• $cochar(a)=cochar(b)$ для любого другого базисного элемента $b\in A$.

В связи с этим кохарактеристикой факторно делемой группы ранга 1 называют кохарактеристику любого ее базисного элемента.

Теорема: Две факторно делимые группы ранга 1 изоморфны тогда и только тогда, когда их кохарактеристики совпадают.

Литература

• Давыдова О. И.  Факторно делимые группы ранга 1 // Фундаментальная и прикладная математика. — 2007. — Т. 13, № 3. — С. 25—33.
• Beaumont R., Pierce R.  Torsion free rings // Illinois Journal of Mathematics. — 1961. — Vol. 5. — P. 61—98.
• Fomin A. A., Wickless W.  Quotient divisible abelian groups // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1998. — Vol. 126, no. 1. — P. 45—52.