Факторизационное тождество

Факторизационное тождество- тождество, определяющее свойство характеристической функции совместных распределений случайной величины, времени первого достижения нулевого уровня, первой неотрицательной суммы, времени достижения нулевого уровня, первой неположительной суммы.

Формулировка[править | править код]

Для характеристической функции совместных распределений случайной величины, времени первого достижения нулевого уровня, первой неотрицательной суммы, времени достижения нулевого уровня, первой неположительной суммы при $|z|<1$ , $Im\lambda =0$ справедливо тождество: $1-z\phi (\lambda )=[1-M(e^{i\lambda \chi _{+}^{0}}z^{\eta _{+}^{0}});\eta _{+}^{0}<\infty ]D^{-1}(z)[1-M(e^{i\lambda \chi _{-}^{0}}z^{\eta _{-}^{0}});\eta _{-}^{0}<\infty ]$ , где $D(z)=1-M(z^{\eta _{+}^{0}});\chi _{+}^{0}=0,\eta _{+}^{0}<\infty )=1-M(z^{\eta _{-}^{0}});\chi _{-}^{0}=0,\eta _{-}^{0}<\infty )$ .

Пояснения[править | править код]

В формулировке теоремы $\phi (\lambda )=\phi _{\xi }(\lambda )=Me^{i\lambda \xi }$ - характеристическая функция последовательности $\{\xi _{k}\}$ независимых одинаково распределённых случайных величин. Обозначим $S_{n}=\sum _{k=1}^{n}\xi _{k},S_{0}=0$ . Случайная величина $\eta _{+}^{0}=min\{k\geq 1:S_{k}\geq 0\}$ есть время первого достижения нулевого уровня. Определим $\chi _{+}^{0}=S_{\eta _{+}^{0}}$ как первую неотрицательную сумму. Случайная величина $\eta _{-}^{0}=min\{k\geq 1:S_{k}\leq 0\}$ есть время достижения нулевого уровня. Определим $\chi _{-}^{0}=S_{\eta _{-}^{0}}$ как первую неположительную сумму.