Условие Вейерштрасса — Эрдманна

Условие Вейерштрасса-Эрдмана — математический результат из вариационного исчисления, определяющий достаточные условия для ломаных экстремалей (т.е. для экстремалей, гладких всюду за исключением конечного числа "изломов").

Условия

Условия на изломе Вейерштрасса-Эрдманна предусматривают, что ломаная экстремаль $y(x)$ функционала $J=\int \limits _{a}^{b}f(x,y,y')\,dx$ удовлетворяет следующим двум соотношениям непрерывности на каждом изломе $c\in [a,b]$:

1. $\left.{\frac {\partial f}{\partial y'}}\right|_{x=c-0}=\left.{\frac {\partial f}{\partial y'}}\right|_{x=c+0}$
2. $\left.\left(f-y'{\frac {\partial f}{\partial y'}}\right)\right|_{x=c-0}=\left.\left(f-y'{\frac {\partial f}{\partial y'}}\right)\right|_{x=c+0}$.

Приложения

Условие позволяет доказать, что на рассматриваемой экстремали имеется излом. Результат имеет многочисленные приложения в дифференциальной геометрии. В теории эллиптических функций Вейерштрасса этот результат зачастую полезен для отыскания изломов на кривых. Аналогично условие позволяет найти минимизирующую кривую указанного интеграла.