Уравнение Джонсона — Мела — Аврами — Колмогорова

Иллюстрация фазового перехода при росте зародышей, которые возникают случайным образом в рассматриваемом объёме.

Уравнение Колмогорова —Джонсона — Мела — Аврами (англ. Kolmogorov — Johnson — Mehl — Avrami — equation, JMAK) описывает процесс фазового перехода при постоянной температуре. Изначально оно было получено для случая кристаллизации расплавов в 1937 году А. Н. Колмогоровым, и независимым образом в 1939 году Р. Ф. Мелом и У. Джонсоном, а также было популяризировано в серии статей М. Аврами в 1939—1941 годах. Однако, формула может быть обобщена на случаи других фазовых переходов.

Основные постулаты

• Неограниченность объёма системы, в которой происходит фазовый переход. Физически это значит, что объём системы много больше объёма образующихся зародышей новой фазы.
• Пуассоновский закон зарождения центров: центры новой фазы возникают в среде случайно и равномерно с некоторой интенсивностью $I(t)$ на единицу объёма несконденсировавшейся среды в единицу времени, зависящей в общем случае от времени.
• Принцип геометрического подобия: каждый зародыш независимо от места и даты «рождения» растёт в виде кристаллита определенной, единой для всех зародышей выпуклой формы и ориентации, сохраняющихся во времени.
• Единство скорости роста: в каждый момент времени скорости роста одинаковы для всех имеющихся в этот момент зародышей. В силу этой посылки ${\dot {R}}$ не зависит от выбранного зародыша и является функцией только текущего времени $t$, то есть ${\dot {R}}=v(t)$.

Формула Колмогорова

Обозначим $q(t)$ долю в момент $t$ несконденсировавшегося объёма по отношению к общему объёму $V_{0}$. Тогда формула Колмогорова имеет вид

$q(t)=exp\left[-\int _{0}^{t}I(t')V(R(t',t))dt'\right]$

где $V(R(t',t))$ объём изолированного зародыша, зародившегося в момент времени $t'$ и в момент времени $t$ имеющего радиус $R$. Зная $q(t)$, легко вычислить долю сконденсировшегося объёма $Q(t)$

$Q(t)=1-q(t)$

Ограничения

Формула неприменима, например, для случая диффузионного роста зародышей (см. Спинодальный распад). В этом случае она даёт только оценку снизу для $q(t)$.