Уравнение Баркера

Уравнение Баркера — уравнение, в неявном виде, определяющее зависимость между положением небесного тела (истинной аномалией) и временем, при движении по параболической орбите^[1]. Данное уравнение широко применялось при изучении орбит комет^[2], орбиты которых имеют эксцентриситет близкий к единице. В настоящее время это уравнение находит применение в астродинамике^[2]

Задача, приводящая к уравнению Баркера[править | править код]

Решение задачи двух тел дает уравнение траектории в полярных координатах в виде

r={\frac {p}{1+e\,\cos \vartheta }}

где $p$ — параметр орбиты; $e$ — эксцентриситет орбиты; $\vartheta$ — истинная аномалия — угол между радиус-вектором текущего положения тела и направлением на перицентр. С другой стороны, справедлив второй закон Кеплера

r^{2}\,{\frac {d\vartheta }{dt}}=c

где $c$ — константа площадей. Исходя из этих уравнений легко получить интеграл, связывающий время и истинную аномалию в точках $A_{0}$ и $A_{1}$ орбиты.

t_{1}-t_{0}={\frac {p^{2}}{c}}\,\int \limits _{\vartheta _{0}}^{\vartheta _{1}}{\frac {d\vartheta }{\left(1+e\,\cos \vartheta \right)^{2}}}

Способ вычисления данного интеграла зависит от величины эксцентриситета (см. Уравнение Кеплера). Для параболической траектории $e=1$ , в этом случае приходим к тривиальной цепочке преобразований

t_{1}-t_{0}={\frac {p^{2}}{c}}\,\int \limits _{\vartheta _{0}}^{\vartheta _{1}}{\frac {d\vartheta }{\left(1+\cos \vartheta \right)^{2}}}={\frac {p^{2}}{4\,c}}\,\int \limits _{\vartheta _{0}}^{\vartheta _{1}}\left(1+{\rm {tg}}^{2}{\frac {\vartheta }{2}}\right)^{2}\,d\vartheta =\left|{\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}=z,\,d\vartheta ={\frac {2\,dz}{1+z^{2}}}\right|={\frac {p^{2}}{2\,c}}\int \limits _{{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{0}}{2}}}^{{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}}\left(1+z^{2}\right)\,dz={\frac {p^{2}}{2\,c}}\left[{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{0}}{2}}+{\frac {1}{3}}\left({\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{0}}{2}}\right)\right]

Учитывая, что параметр орбиты связан с константой площадей

p={\frac {c^{2}}{\mu }}

где $\mu$ — гравитационный параметр центрального тела, а константа площадей, в случае параболического движения

c=r_{\pi }\,v_{\pi }=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,\mu }{r_{\pi }}}}

где $r_{\pi }$ — расстояние до перицентра; $v_{\pi }$ — скорость в перицентре, при движении по параболе являющаяся параболической скоростью. Тогда, получаем для параметра орбиты $p=2\,r_{\pi }$ и приходим к окончательному выражению

t_{1}-t_{0}=r_{\pi }{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\left[{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{0}}{2}}+{\frac {1}{3}}\left({\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{0}}{2}}\right)\right]

Теперь примем, что начальная точка траектории — перицентр, значит $\vartheta _{0}=0$ и преобразуем полученную зависимость к виду

n\,\left(t-t_{0}\right)={\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}+{\frac {1}{3}}{\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta }{2}}

где $n={\sqrt {\frac {\mu }{2\,r_{\pi }^{3}}}}$ — среднее движение небесного тела. В итоге, получаем кубическое уравнение вида

S+{\frac {1}{3}}\,S^{3}-M=0

где $S={\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}$ , $M=n\,\left(t-t_{0}\right)$ — средняя аномалия орбиты небесного тела. Данное уравнение называют уравнением Баркера.

Это уравнение представляет собой неявную зависимость истинной аномалии от времени $\vartheta (t)$ при движении небесного тела по параболической траектории.

Решение уравнения Баркера[править | править код]

Уравнение

S+{\frac {S^{3}}{3}}-M=0

является кубическим уравнением, записанным в канонической форме Кардано и имеет аналитическое решение. Средствами компьютерной алгебры легко получить это решение, содержащее один действительный и два комплексно-сопряженных корня