Треугольник точек касания вневписанных окружностей

Треугольник внекасаний ($\Delta \mathrm {T_{A}T_{B}T_{C}}$, с красными сторонами) и точка Нагеля (синяя, N) треугольника ($\Delta \mathrm {ABC}$, чёрные стороны). Оранжевые окружности — это вневписанные окружности треугольника.

Треугольник точек касания вневписанных окружностей треугольника образован соединением точек, в которых вневписанные окружности касаются треугольника. Для краткости в статье будем называть этот треугольник треугольником внекасаний, хотя его часто называют треугольником Нагеля. Некоторые его свойства есть в статье Точка Нагеля.

Координаты

Вершины треугольника внекасаний задаются трилинейными координатами:

$T_{A}=0:\csc ^{2}{\left(B/2\right)}:\csc ^{2}{\left(C/2\right)}$

$T_{B}=\csc ^{2}{\left(A/2\right)}:0:\csc ^{2}{\left(C/2\right)}$

$T_{C}=\csc ^{2}{\left(A/2\right)}:\csc ^{2}{\left(B/2\right)}:0$

Или, эквивалентно, если a,b,c являются длинами сторон, противоположных углам A, B, C соответственно,

$T_{A}=0:{\frac {a-b+c}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}$

$T_{B}={\frac {-a+b+c}{a}}:0:{\frac {a+b-c}{c}}$

$T_{C}={\frac {-a+b+c}{a}}:{\frac {a-b+c}{b}}:0.$

Связанные фигуры

Разделителями периметра треугольника являются отрезки, соединяющие вершины исходного треугольника с соответствующими вершинами треугольника внекасаний. Они делят периметр пополам (это и есть определение разделителя периметра) и пересекаются в точке Нагеля, которая на рисунке выделена синим цветом и помечена буквой «N».

Эллипс Мандара касается сторон исходного треугольника в трёх вершинах треугольника внекасаний.

Площадь

Площадь треугольника внекасаний, $K_{T}$, задаётся формулой:

$K_{T}=K{\frac {2r^{2}s}{abc}}$,

где $K$, $r$, $s$ являются площадью, радиусом вписанной окружности и полупериметром исходного треугольника, а $a$, $b$, $c$ являются длинами сторон исходного треугольника.

Это та же площадь, что и у треугольника касаний.

См. также

• Точка Нагеля