Тор Клифтона — Поля

Тор Клифтона — Поля — пример компактного лоренцева многообразия, не являющегося геодезически полным. Пример показывает, что теорема Хопфа — Ринова не обобщается на псевдоримановы многообразия. Этот пример был построен (но не опубликован) Йитоном Клифтоном и Уильямом Полем в 1962 году.

Построение

Рассмотрим многообразие $M=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}$ с метрикой:

$g={\frac {2\cdot dx\,dy}{x^{2}+y^{2}}}$

Любая гомотетия является изометрией $M$, в частности, таково следующее отображение:

$\lambda (x,y)=2\cdot (x,y)$

Пусть $\Gamma$ — подгруппа группы изометрии, порожденная $\lambda$. Фактор $M$ по $\Gamma$ является тором $T=M/\Gamma$ — он и называется тором Клифтона — Поля.

Свойства

Геодезическая неполнота

Легко проверить, что кривая

$\sigma (t):=\left({\frac {1}{1-t}},0\right)$

есть геодезическая в $M$, которая не полна (поскольку она не определена при $t=1$). Следовательно, $M$ и $T=M/\Gamma ,$ не являются геодезически полными.

На самом деле, каждая нуль-геодезическая на $M$, а значит и на $T=M/\Gamma$, не является полной.

Сопряженные точки

Торы Клифтона — Поля также не имеют сопряженных точек.