Тороидальный граф

Кубический граф с 14 вершинами, вложенный в тор

Тороида́льный граф — граф, который можно нарисовать на торе так, что его рёбра пересекаются только по общим вершинам.

Формально говоря, это граф который допускает вложение в тор.

Свойства

• Хроматическое число любого тороидального графа не превышает 7.
  • Пример тороидального графа с хроматическим числом 7 — полный граф $K_{7}$.

• Хроматическое число любого тороидального графа без треугольников не превосходит 4.

• По аналогии с теоремой Фари, любой тороидальный граф можно нарисовать с рёбрами в виде отрезков в прямоугольнике с периодическими границами (то есть противоположные границы квадрата отождествляются). Кроме того, в этом случае применима теорема Татта.

• Тороидальные графы допускают книжное вложение с максимум 7 листами.

• Теорема Робертсона — Сеймура гарантирует, что тороидальные графы можно определить конечным набором запрещённых графов. Однако набор запрещённых графов в этом случае неизвестен, и их число не менее 250815.

Примеры

• Любой граф с числом пересечений равным 1 тороидален.
  • В частности, таковы полный граф $K_{5}$ и полный двудольный граф $K_{3,3}$ (граф «домики и колодцы») и все остальные лестницы Мёбиуса.
• полный граф $K_{7}$,
• полный двудольный граф $K_{4,4}$,
• граф Петерсена,
• граф Хивуда,
• граф Мёбиуса — Кантора,
• один из снарков Блануши.

См. также

• Планарный граф
• Топологическая теория графов
• Многогранник Часара

Ссылки

• Chartrand, Gary; Zhang Ping. Chromatic graph theory. — CRC Press, 2008. — ISBN 978-1-58488-800-0.
• Endo, Toshiki.  The pagenumber of toroidal graphs is at most seven // Discrete Mathematics. — 1997. — Vol. 175, no. 1–3. — P. 87—96. — doi:10.1016/S0012-365X(96)00144-6.
• Gortler, Steven J.; Gotsman, Craig; Thurston, Dylan.  Discrete one-forms on meshes and applications to 3D mesh parameterization // Computer Aided Geometric Design. — 2006. — Vol. 23, no. 2. — P. 83—112. — doi:10.1016/j.cagd.2005.05.002.
• Heawood P. J.  Map colouring theorems // Quarterly J. Math. Oxford Ser.. — 1890. — Vol. 24. — P. 322—339.
• Kocay W., Neilson D., Szypowski R.  Drawing graphs on the torus // Ars Combinatoria. — 2001. — Vol. 59. — P. 259—277. Архивировано 24 декабря 2004 года.
• Kronk, Hudson V.; White, Arthur T.  A 4-color theorem for toroidal graphs // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1972. — Vol. 34, no. 1. — P. 83—86. — doi:10.2307/2037902.
• Marušič, Dragan; Pisanski, Tomaž.  The remarkable generalized Petersen graph G(8,3) // Math. Slovaca. — 2000. — Vol. 50. — P. 117—121. (недоступная ссылка)
• Myrvold, Wendy; Woodcock, Jennifer. A large set of torus obstructions and how they were discovered. — 2018. — Vol. 25. — doi:10.37236/3797.
• Neufeld, Eugene; Myrvold, Wendy . Practical toroidality testing // Proceedings of the Eighth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms. — 1997. — P. 574—580.
• Orbanić, Alen; Pisanski, Tomaž; Randić, Milan; Servatius, Brigitte.  Blanuša double // Math. Commun. — 2004. — Vol. 9, no. 1. — P. 91—103.