Теорема о трёх силах

Рис. 1. Теорема о трёх силах

Рис. 2. Пример применения теоремы

Теорема о трёх силах — теорема статики, формулирующая необходимое условие равновесия абсолютно твёрдого тела под действием трёх непараллельных сил. Формулировка теоремы следующая:

Если абсолютно твердое тело находится в равновесии под действием плоской системы трех непараллельных сил, то линии их действия пересекаются в одной точке.

Под тремя непараллельными силами в данном случае понимаются три силы, как минимум две из которых непараллельны.

Теорема даёт только необходимое условие равновесия тела. Чтобы условие стало достаточным, к нему необходимо прибавить требование равенства нулю геометрической суммы всех трёх сил.

Доказательство

Пусть тело находится в равновесии под действием сил F₁, F₂ и F₃, точки приложения которых соответственно A, B и C (рис. 1). Предположим для определённости, что силы F₁ и F₂ непараллельны. Следовательно, линии их действия пересекаются в некоторой точке O. Перенесём обе силы вдоль линий их действия в точку O и найдём равнодействующую этих сил F₄. Указанные операции не изменят состояния равновесия тела, следовательно, тело теперь будет находиться в равновесии под действием двух сил: F₃ и F₄. Но тело находится в равновесии под действием двух сил только в том случае, если эти силы направлены по одной линии. Следовательно, линия действия силы F₃ также проходит через точку O. Теорема доказана.

Пример применения теоремы

Рассмотрим однородную балку массы m, которая опирается на основание в точках А и В (рис. 2). Балка находится в равновесии под действием трёх сил: силы тяжести mg и сил реакции опор N_A и N_B. Определить линию действия силы N_A.

Линии действия двух из трёх рассматриваемых сил известны: сила тяжести направлена вертикально вниз, сила N_B — вверх и влево, перпендикулярно балке. Найдём точку пересечения линий действия этих сил (точка O). Тогда линия действия силы N_A будет совпадать с прямой AO.

Источники

• Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики: Часть I. Статика, кинематика. — М.: Высш. шк., 1966, 439 с.
• Маркеев А.П. Теоретическая механика: Учебник для университетов. — М.: ЧеРо, 1999, 572 с.