Теорема о расщеплении

Теорема о расщеплении — классическая теорема в римановой геометрии.

Формулировка

Предположим, в полном римановом многообразии $M$ с неотрицательной кривизной Риччи имеется прямая, то есть геодезическая $\gamma \colon \mathbb {R} \to M$, такая, что

$d(\gamma (u),\gamma (v))=|u-v|$

для всех

$u,v\in \mathbb {R} .$

Тогда $M$ изометрично произведению

$\mathbb {R} \times L,$

где $L$ есть риманово многообразие с неотрицательной кривизной Риччи.

Более того, можно показать, что $\gamma (t)=(t,x)$ для некоторого $x\in L$.

История

Для поверхностей теорема была доказана Кон-Фоссеном. Топоногов обобщил её на многообразия с неотрицательной секционной кривизной. Чигер и Громолл доказали, что неотрицательность кривизны Риччи является достаточным условием.

Позже аналогичная теорема была доказана для лоренцевых многообразий с неотрицательной кривизной Риччи во времениподобных направлениях.